abc猜想

abc猜想

ABC猜想最先由喬瑟夫·奧斯達利(Joseph Oesterlé)及大衛·馬瑟(David Masser)在1985年提出,一直未能被證明。其名字來自把猜想中涉及的三個數位稱為A、B、C的做法。

2012年8月,日本的京都大學數學家望月新一稱證明了此猜想,但因其研究工具與論文無人看懂,故無法驗證是否正確,此猜想至今仍未解決。

  • 中文名稱
    abc猜想
  • 提出者
    喬瑟夫·奧斯達利及大衛·馬瑟
  • 提出時間
    1985年
  • 套用學科
    數學
  • 最新證明者
    日本京都大學數學家望月新一

猜想簡介

abc猜想(abc conjecture)最先由Joseph Oesterlé及David Masser在1985年提出。它說明對于任何ε>0,存在常數Cε> 0,並對于任何三個滿足a+ b= ca,b互質的正整數a,b,c,有:

abc猜想

其中,rad(n)表示n的質因數的積, 如 rad(72) = rad (2×2×2×3×3) = 2×3 = 6 。

1996年,愛倫·貝克提出一個較為精確的猜想,將rad(n)用

取代,其中ω是a,b,c的不同質因子的數目。

abc猜想

abc猜想將許多丟番圖問題都包含在其中,比如費馬大定理。同許多丟番圖問題一樣,abc猜想完全是一個素數之間關系的問題。斯坦福大學布拉恩·康拉德(Brian Conrad)曾說,"在a、b和a+b的素數因子之間存在著更深層的關聯"。

項目內容

[email protected] 是一個由荷蘭的一個數學研究院 Mathematical Institute of Leiden University 運作的,基于 BOINC 分散式計算平台的數學類項目,旨在通過搜尋滿足ABC猜想條件的三元數組獲得這些數組的分布從而幫助數學家解決這個猜想。 |

即它利用分散式計算窮舉直到 c<=10的滿足ABC猜想條件的 (a,b,c) 三元數組,也就是說滿足要求 c=a+b, a<b, rad(ABC)<C。其中 rad(n) 稱為 n 的根積,意即 n 的所有質因數的乘積,若有重復的質因數則隻取一個。例如,rad(504)=rad((2^3)*(3^2)*7)=2*3*7=42。

項目通過研究這些三元數組的分布,嘗試尋找證明ABC猜想這個數學未解問題的方法。如果證明了ABC猜想,就可以部分證明費馬-卡特蘭 (Fermat-Catalan) 猜想,完全證明 Schinzel-Tijdeman 猜想等等。ABC猜想的具體內容是:對于所有e>0,存在與e有關的常數C(e),對于所有滿足a+b=c,a與b互質的三正整數組(a,b,c),均成立 c<=C(e)((rad(abc))^(1+e))。支持ABC猜想的證據有很多,比如說ABC猜想的多項式版本成立,ABC猜想也蘊含了費馬大定理。D. Goldfeld 評價ABC猜想為"丟番圖分析(意即系數與解均為整數的方程的分析)領域中最重要的未解決問題"。 [email protected] 希望能夠通過了解滿足條件的三元數組的分布來協助數學家解決ABC猜想。

研究進展

許多數學家都花費了大量的精力嘗試證明這一猜想。在2007年,在法國數學家呂西安·施皮羅(Lucien Szpiro)在1978年的研究工作的基礎之上,首次宣布對abc猜想的證明,但很快就發現證明中存在著缺陷。

2006年,荷蘭萊頓大學數學系和荷蘭Kennislink科學研究所聯合啓動了一個BOINC項目名為"[email protected]",用以研究該猜想。

2012年8月,日本京都大學數學家Shinichi Mochizuki(望月新一)公布了有關abc猜想(abc conjecture)長達500頁的證明。雖然尚未被證實整個證明過程是正確無誤的,但包括陶哲軒在內的一些著名數學家均對此給出了正面評價

日本數學家望月新一日本數學家望月新一

研究意義

美國哥倫比亞大學數學家Dorian Goldfeld評價說:"abc猜想如果被證明,將一舉解決許多著名的Diophantine問題,包括費馬大定理。如果Mochizuki的證明是正確的,這將是21世紀最令人震驚的數學成就之一。"

望月論文中的定義和數論中傳統概念的比較望月論文中的定義和數論中傳統概念的比較

望月新一的研究工作與前人的努力並沒有太多關聯。他建立了一套全新的數學方法,使用了一些全新的數學"對象"--這些抽象實體可類比為我們比較熟悉的幾何對象、集合、排列、拓撲和矩陣,隻有極少的數學家能夠完全理解。就如同戈德費爾德所說:"在當今,他或許是唯一一個完全掌握這套方法的人。"

康拉德認為,這項研究工作"包含著大量的深刻思想,數學界要想完全理解消化需要花很長的時間"。整個證明包含四個長篇論文,每一篇都是建立在之前論文的基礎上。"需要花費大量的時間來研讀並理解這些深奧的長篇證明,所以我們不能僅僅關註此證明的重要性,更重要的是沿著作者的證明思路進行研究。"

望月新一取得的研究成果使得這一切努力都是值得的。康拉德說:"望月新一曾經成功證明過極為艱深的定理,並且他的論文表達嚴謹,論述周密。這些都使我們對于成功證明abc猜想充滿了信心。"另外,他還補充道,所取得的成績並不僅限于對此證明的確認。"令人感到興奮的原因不僅僅在于abc猜想或許已被解決,更在于他所使用的方法和思想將會成為以後解決數論問題的有力工具。"

歷史上反直覺的卻又被驗證為正確的理論,數不勝數。 一旦反直覺的理論被證實是正確的,基本上都改變了科學發展的進程。舉一個例子:牛頓力學的慣性定律,物體若不受外力就會保持當前的運動狀態,這在17世紀無疑是一個重量級的思想炸彈。"物體不受力當然會從運動變為停止",這是當時的普通人基于每天的經驗得出的正常思想。而實際上,這種想法,在任何一個于20世紀學習過國中物理、知道有種力叫摩擦力的人來看,都會顯得過于幼稚。但對于當時的人們來說,慣性定理的確是相當違反人類常識的!

ABC猜想之于數論研究者,就好比牛頓慣性定律之于17世紀的普通人,更是違反數學上的常識。這一常識就是:"a和b的質因子與它們之和的質因子,應該沒有任何聯系。" 原因之一就是,允許加法和乘法在代數上互動,會產生無限可能和不可解問題,比如關于丟番圖方程統一方法論的希爾伯特第十問題,早就被證明是不可能的。如果ABC猜想被證明是正確的,那麽加法、乘法和質數之間,一定存在人類已知數學理論從未觸及過的神秘關聯。

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