費馬大定理 -數學

費馬大定理

費馬大定理,又被稱為“費馬最後的定理”,由法國數學家費馬提出。它斷言當整數n >2時,關于x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 沒有正整數解。被提出後,經歷多人猜想辯證,歷經三百多年的歷史,最終在1995年被英國數學家安德魯·懷爾斯證明。
  • 中文名稱
    費馬大定理
  • 外文名稱
    Fermat's Last Theorem
  • 證明者
    安德魯·懷爾斯

猜想提出

費馬在閱讀丟番圖(Diophatus)《算術》拉丁文的法文譯本時,曾在第11卷第8命題旁寫道:“將一個立方數分成兩個不同的立方數之和,或一個四次方冪分成兩個不同的四次方冪之和,或者一般地將一個高于二次的方冪分成兩個不同數的同次方冪數之和,這是不可能的。關于此,我確信已發現了一種美妙的證法 ,可惜這裏空白的地方太小,寫不下。”(拉丁文原文: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.")畢竟費馬沒有寫下證明,而他的其它猜想對數學貢獻良多,由此激發了許多大數學家們對這一猜想的興趣。數學家們的有關工作豐富了數論的內容,推動了數論的發展。

費馬大定理費馬大定理

但對一般情況,在猜想提出的頭幾百年內數學家們仍對費馬大定理一籌莫展。從歐拉開始,到懷爾斯為止,他們沒有看懂費馬大定理,他們用一個莫德爾猜想的無理數代數等式方程的公式來作假證明費馬大定理,他們證明了這個無理數代數等式方程中的數都是無理數而沒有整數,由此,他們根據無理數集合中無整數而猜想斷言:費馬大定理是正確的,其實這隻是一種猜想斷言,而不是直接證明。因為你給出的是一個莫德爾猜想的無理數等式方程公式,這隻能說你實際上是在證明莫德爾猜想,而不是在證明費馬大定理,因為費馬大定理中的數都是整數,要用整數方程公式來證明費馬大定理,毛桂成證明了這個定理。他把費馬大定理的公式改成了整數不等式公式,再用無限下降法把費馬大定理的整數不等式公式無窮遞降到二次不等式時,最後用畢達哥拉斯通解公式來比較費馬大定理的二次不等式公式,由于這兩個公式中的指數不一樣,故這時可知費馬大定理是正確的。

證明獎勵

德國佛爾夫斯克宣布以10萬馬克作為獎金,獎給在他逝世後一百年內,第一個證明該定理的人,這筆獎金吸引了不少人嘗試並遞交他們的“證明”。在一戰之後,馬克大幅貶值,但該定理的魅力並沒有下降。

莫德爾

格爾德·法爾廷斯

1922年,英國數學家莫德爾提出一個著名的錯誤猜想,人們叫做“莫德爾猜想.”按其最初形式,這個猜想是說:“任一不可約、有理系數的二元多項式,當它的“虧格”大于或等于2時,最多隻有有限個解.記這個多項式為f(x,y),猜想便表示:最多存在有限對數偶xi,yi∈Q,使得f(xi,yi)=0.”後來,人們錯誤的把猜想擴充到定義在任意數域(包含無理數域)上的多項式,並且隨著抽象代數幾何的出現,又重新用代數曲線來敘述這個猜想了。

而莫德爾多項式x^n+y^n-1沒有奇點,其虧格為(n-1)(n-2)/2。當n≥4時,莫德爾多項式滿足猜想的條件。因此,如果莫德爾猜想成立,那麽莫德爾猜想中的方程x^n+y^n=z^n本質上最多有有限多個整數解。

1983年,德國數學家法爾廷斯證明了莫德爾猜想,這從而翻開了費馬大定理的新篇章.法爾廷斯也因此獲得1984年度的菲爾茲獎

谷山豐

谷山豐

1955年,日本數學家谷山豐根據錯誤的莫德爾猜想首先錯誤猜測橢圓曲線于另一類數學家們了解更多的曲線——模曲線之間存在著某種聯系;谷山的猜測後經韋依和志村五郎進一步精確化而形成了所謂“谷山—志村猜想”,這個猜想說明了:有理數域上的橢圓曲線都是模曲線。這個很抽象的猜想使一些學者搞不明白,但它又使作假證明“費馬大定理”有了理論根據。其實,他們的理論根據是錯誤的,由數學規則可知,數模隻能用等式給出,不能用不等式給出數模,用不等式給出的數模是不可信的。由于費馬大定理隻有一個整數不等式公式,故用數模來證明費馬大定理是方法錯誤。因此,谷山豐知道錯誤後自己自殺了。

1985年,德國數學家弗雷根據法爾廷斯證明的莫德爾猜想,他錯誤的指出谷山——志村猜想”和費馬大定理之間有關系;他提出了一個錯誤的命題:假定“莫德爾猜想是正確的,即費馬大定理”不成立時,存在一組非零整數A,B,C,n,使得A的n次方+B的n次方=C的n次方(n>2),那麽用這組無理數構造出的公式與有理數y的平方=x(x+A的n次方)乘以(x-B的n次方)的橢圓曲線公式證明不可能是模曲線。【用整數是不可能有等式存在的,故他的猜想是錯誤的】

盡管他努力了,但他的命題和“谷山——志村猜想”矛盾。為什麽有矛盾,因為一個是無理數等式公式,一個是有理數等式公式。他們不在同一個數域。真正的錯誤是不同數域的錯誤,不是有解與沒有解的錯誤。為了作假的需要,懷爾斯就錯誤的認為正證一次,再反證一次就證明了費馬大定理。懷爾斯沒有想到,用無理數代入無理數等式方程中時,有兩種情況存在,即有無理數等式【1】存在,也有無理數不等式【2】存在。但不可能有整數不等式【3】存在。裏貝特是任何作假過渡到整數不等式【3】中去的呢,那就是猜想他是整數。猜想不等于證明。故裏貝特作假證明了弗雷猜想。

由于莫德爾猜想的公式是無理數等式方程,他把公式中的無理數錯誤的假設成是整數,但實際上還是一個無理數等式方程,公式中的數還是無理數,因為你不管怎麽假設,無理數不會因你的錯誤假設而變成整數,因此,正證時這個數模中的無理數有等式成立,也有無理數不等式成立,,反證時同樣是有無理數使等式成立,也有無理數使等式不成立,故當數為無理數時,這個公式不存在正證時不成立,反證就成立。換句話說是:正證和反證是一樣的結果。這不會因假設是整數,他真的就變成了整數。無理數不會因為你的假設而變成為整數。故他們無法把無理數轉換成整數,故他們無法過渡到費馬大定理的整數不等式公式中來。也就是說,不管是正反證明,還是反正證明,證來證去都是在證明莫德爾猜想公式,不是證明的費馬大定理公式,因為費馬大定理的公式隻有一個整數不等式公式,沒有整數等式公式存在。

如果能同時證明這兩個命題,根據反證法就可以知道弗雷猜想的這一假定是錯誤的,從而就證明了“莫德爾猜想公式中的數是無理數”。從而就可否定弗雷猜想和莫德爾猜想,但當時他沒有嚴格證明他的命題。若否定弗雷猜想和莫德爾猜想後,你可以認為費馬大定理有可能是成立的,但這還不是證明費馬大定理成立。

1986年,美國數學家裏貝特是用作假的方法來證明弗雷命題的。因這是不可能的,因為莫德爾公式中的數是無理數,不是整數。這根本就不能轉換成為費馬大定理的公式。故裏貝特是作假證明了弗雷猜想。

猜想成立

安德魯.懷爾斯

1993年6月,英國數學家安德魯·懷爾斯宣稱證明:對有理數域上的一大類橢圓曲線,“谷山—志村猜想”成立。

由于他在報告中表明了無理數等式公式弗雷曲線【也即恆等莫德爾猜想公式的無理數等式方程曲線】恰好屬于他所說的這一大類橢圓曲線,也就表明了他最終證明了“費馬大定理”;但專家對他的證明審察發現有漏洞。

其實,有些漏洞是無法修復的,弗雷公式是一個無理數等式方程公式,而谷山——志村猜想的公式是有理數公式,但費馬大定理的公式是整數不等式公式,故這三個個公式的數域是都不同的,從其他方面來說,弗雷公式恆等莫德爾猜想公式,這倆個公式根本就不是費馬大定理的公式,也就是說,安德魯.懷爾斯證明的定理根本就不是費馬大定理。他隻是斷言【猜想】費馬大定理成立,而不是直接證明費馬大定理成立。

不管谷山——志村猜想是否成立,這與費馬大定理無關。因為谷山--志村猜想的公式是有理數等式公式,而費馬大定理的公式是整數不等式公式,這兩個公式是不可能混在一起去的,因此我們說:安德魯.懷爾斯沒有證明費馬大定理。

後來,懷爾斯的努力找到了修補漏洞的方法,就是之前拋棄過的思路,最終解決了漏洞,證明猜想成立,這已經是1995年的事了

從而使懷爾斯獲得了菲爾茲數學獎,成為20世紀最偉大的數學家之一。

另類證明

據美國《科學日報》報道,美國哲學家和數學家科林·邁克拉蒂日前稱:用皮亞諾算術(Peano Arithmetic)證明費馬大定理比英國數學家安德魯·懷爾斯所用的方法簡單和所用的公理少,而且大多數數學家都容易看懂和理解。其言論一出,震驚了學界。

邁克拉蒂2003年開始尋找費馬大定理證明的簡易方法,他在2010年第3期《符號邏輯公告》上曾發表過題為“用什麽來證明費馬大定理?格羅滕迪克與數論的邏輯”的論文。其文探討了目前公布的證明費馬大定理所用的集合論假設,懷爾斯如何使用這些假設,以及使用較弱的假設證明費馬大定理的前景。他的一些觀點引起了人們的關註和討論。讀過這篇論文的中國數學家和語言學家周海中認為,邁克拉蒂從數學哲學的角度分析了證明費馬大定理所用的公理化方法,提出了某些與他人有本質不同的觀點,為解決數論難題提供了一種有益探索和嘗試。​

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