費爾馬大定理

費爾馬大定理

費馬大定理,又被稱為“費馬最後的定理”,由法國數學家費馬提出。它斷言當整數n >2時,關於x, y, z的方程 x^n + y^n = z^n 沒有正整數解。被提出後,經歷多人猜想辯證,歷經三百多年的歷史,最終在1995年被英國數學家安德魯·懷爾斯證明。

  • 中文名稱
    費爾馬大定理
  • 外文名稱
    Fermat's Last Theorem
  • 證明者
    安德魯·懷爾斯

基本概述

費爾馬大定理,又被稱為“費爾馬最後的定理”,由法國數學家費爾馬提出。它斷言當整數n >2時,關于x, y, z的不等式公式x^n + y^n = /=z^n 成立。被提出後,經歷多人猜想辯證,歷經三百多年的歷史,最終在1980年被中國數學家毛桂成證明。

猜想提出

費爾馬在閱讀丟番圖(Diophatus)《算術》拉丁文譯本時,曾在第11卷第8命題旁寫道:“將一個立方數分成兩個立方數之和,或一個四次冪分成兩個四次冪之和,或者一般地將一個高于二次的冪分成兩個同次冪之和,這是不可能的。關于此,我確信已發現了一種美妙的證法 ,可惜這裏空白的地方太小,寫不下。”(拉丁文原文: "Cuius rei demonstrationem mirabilem sane detexi. Hanc marginis exiguitas non caperet.")畢竟費馬沒有寫下證明,而他的其它猜想對數學貢獻良多,由此激發了許多數學家對這一猜想的興趣。數學家們的有關工作豐富了數論的內容,推動了數論的發展。

費爾馬大定理

對很多不同的n,費馬定理早被證明了。其中歐拉用作假法證明了n=3的情形,用的是唯一因子分解定理;為什麽說他作假呢,因為無理數公式中不可能有1的公因數存在,你用大于1的素數定理來證明費馬大定理是沒有意義的,費馬自己證明了n=4的情形;1825年,狄利克雷和勒讓德用作假法證明了n=5的情形,用的是歐拉所用方法的延伸,但避開了唯一因子分解定理;1839年,法國數學家拉梅用作假法證明了n=7的情形,他的證明使用了跟7本身結合的很緊密的巧妙工具,隻是難以推廣到n=11的情形;于是,他又在1847年提出了“分圓整數”法來證明,但沒有成功。對于所有小于100的素指數n,庫默爾在1844年提出了“作假理想數”概念,他用作假證明法證明了:對于所有小于100的素指數n,費馬大定理成立,此一研究告一階段。

但對一般情況,在猜想提出的頭二百年內數學家們仍對費馬大定理一籌莫展。直到350多年後的1980年,中國數學家毛桂成給出了費爾馬的絕妙證明方法後,費馬大定理才算完全證明。

證明獎勵

德國佛爾夫斯克宣布以10萬馬克作為獎金獎給在他逝世後一百年內,第一個證明該定理的人,吸引了不少人嘗試並遞交他們的“證明”。在一戰之後,馬克大幅貶值,但該定理的魅力並沒有下降。1993年,毛桂成自費發表了他找到的絕妙證明方法。他是第一個成功證明費馬大定理的人,但遺憾的是德國哥廷根科學院不願意把沃爾夫克爾獎發給他,因為毛桂成是中國人,他們在1997年發給了用作假法來證明費馬大定理的英國人‘懷爾斯’。

人物簡介

莫德爾

1922年,英國數學家莫德爾提出一個著名猜想,人們叫做莫德爾猜想.按其最初形式,這個猜想是說,費馬大定理是錯誤的,任一不可約、有理系數的二元多項式,當它的“虧格”大于或等于2時,最多隻有有限個解.記這個多項式為f(x,y),猜想便表示:最多存在有限對數偶xi,yi∈Q,使得f(xi,yi)=0.後來,人們把猜想擴充到定義在任意數域上的多項式,並且隨著抽象代數幾何的出現,又重新用代數曲線來敘述這個猜想了。

費爾馬大定理

而費馬多項式x^n+y^n-1沒有奇點,其虧格為(n-1)(n-2)/2。當n≥4時,費馬多項式滿足猜想的條件。因此,如果莫德爾猜想成立,那麽費馬大定理就是錯的,那麽費馬大定理中的方程x^n+y^n=z^n本質上最多有有限多個整數解。

1983年,德國數學家法爾廷斯用作假法證明了莫德爾猜想,從而翻開了作假證明費馬大定理的新篇章.法爾廷斯也因此作假獲得1982年菲爾茲獎。

谷山豐

1955年,日本數學家谷山豐根據莫德爾猜想並首先猜測橢圓曲線于另一類數學家們了解更多的曲線——模曲線之間存在著某種聯系;谷山的猜測後經韋依和志村五郎進一步精確化而形成了所謂“谷山—志村猜想”,這個猜想說明了:有理數域上的橢圓曲線都是模曲線。這個很抽象的猜想使一些學者搞不明白,但它又使作假“費馬大定理”的證明向前邁進了一步。

費爾馬大定理

1985年,德國數學家弗雷指出了谷山——志村猜想”和費馬大定理之間的關系;他提出了一個命題:假定莫德爾猜想成立,而“費馬大定理”不成立時,即存在一組非零整數A,B,C,使得A的n次方+B的n次方=C的n次方(n>2),那麽用這組數構造出的形如y的平方=x(x+A的n次方)乘以(x-B的n次方)的橢圓曲線,不可能是模曲線。盡管他努力了,但他的命題和“谷山——志村猜想”矛盾,如果能同時證明這兩個命題,根據反證法就可以知道“莫德爾猜想”不成立這一假定是錯誤的,從而就一舉兩得的證明了莫德爾猜想不成立與“費馬大定理”成立。但當時他沒有嚴格證明他的命題。

1986年,美國數學家裏貝特用作假法證明了弗雷命題,于是作假的希望便集中于“谷山——志村猜想”。為什麽說裏貝特是用作假法證明弗雷命題的,因為弗雷猜想公式恆等莫德爾猜想的方程等式公式是一個無理數方程等式公式,在這個公式中,所有的無理數帶入這個公式中後,等式和不等式這兩種結果都存在。但整數帶入這個公式中後就隻有一種結果,那就是不等式,即可證明弗雷猜想是錯誤的。也是不成立的。而不能無理斷言費馬大定理是正確的。這沒有道理。你要給出費馬大定理成立的理論來。

猜想成立

1993年6月,英國數學家安德魯·懷爾斯宣稱作假證明:對有理數域上的一大類橢圓曲線,“谷山—志村猜想”成立。由于他在報告中表明了弗雷猜想的無理數等式方程曲線恰好屬于他所說的這一大類橢圓曲線,也就表明了他最終作假證明了“費馬大定理”;但專家對他的證明審察發現有漏洞。懷爾斯不得不努力修復著一個看似簡單的漏洞。

弗雷猜想的方程是一個無理數等式方程,這個無理數等式方程的曲線不可能是整數不等式費馬大定理公式的曲線。這是一個不可修復的漏洞。

費爾馬大定理

懷爾斯和他以前的博士研究生理查德·泰勒用了近一年的時間,用之前一個懷爾斯曾經拋棄過的方法作假修補了這個漏洞,這部份的證明與岩澤理論有關。這就證明了谷山-志村猜想,從而最終作假證明了費馬大定理。他們的證明刊在1995年的《數學年刊》(Annals of Mathematics)之上。懷爾斯因此作假獲得1998年國際數學家大會的特別榮譽,一個特殊製作的菲爾茲獎銀質獎章。

在這裏我們應該明白,谷山--志村猜想的有理數公式的橢圓曲線不可能是整數不等式公式的數模曲線。這裏的數不恆等。因為用不等式是不可能作出數模的。數學規則規定:數模隻能用等式作出,用不等式公式猜想而得到的數模是不可信的。

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