解析數論

解析數論

解析數論是數論中以分析方法作為研究工具的一個分支。解析數論是在初等數論無法解決的情況下發展起來的,如有了一個可以表達所有素數的素數普遍公式,一些由解析數論範圍的內容,就自動轉到初等數論的範圍內。如孿生素數猜想。以及哥德巴赫猜想。

簡介

數論中以分析方法作為研究工具的一個分支。分析方法在數論中的套用可以追溯到18世紀L.歐拉的時代。歐拉證明了,對實變數s>1有恆等式 (式中s取遍所有素數)成立,並且由此推出素數有無窮多個。歐拉恆等式是數論中最主要的定理之一。隨後P.G.L.狄利克雷創立了研究數論問題的兩個重要工具,即狄利克雷(剩餘)特征標與狄利克雷L函式,奠定了解析數論的基礎。

解析數論是在初等數論無法解決的情況下發展起來的,因為,如果有了一個可以表達所有素數的素數普遍公式,一些由解析數論範圍的內容,就自動轉到初等數論的範圍內。例如孿生素數猜想。以及哥德巴赫猜想。

聯系數論和復變函式論的橋梁是所謂的佩隆公式(Peron). 很多數論問題可以歸結為某類求和函式的估計問題,而利用佩隆公式,就可以將求和函式的估計轉變為某類復變函式的零點極點的分布情況的估計。 大多數數論問題最終都能歸結為L函式的性質討論。

令π(x)表示不超過.x的素數的個數,關于π(x)的研究是素數論的中心問題,黎曼在數論中引入復變函式ζ(s),稱為黎曼ζ函式(見數論),他對這個函式作了深入的研究,得到了許多重要結果。特別是 ,他建立了一個與ζ(s)的零點有關的表示π(x)的公式,因此研究素數分布問題的關鍵在于研究ζ(s)的性質特別是它的零點的性質。這樣,黎曼開創了解析數論的一個新時期。黎曼提出一個猜想:ζ(s)的所有復零點都在直線Res=1/2上,這就是所謂黎曼猜想。它是尚未解決的最著名的數學問題之一。

1896年,J.阿達馬與C.J.dela瓦萊-普桑用解析方法同時並且相互獨立地證明了素數定理即當x→∞時,π(x)~.x/lnx (這個問題最早由高斯提出),從此解析數論開始得到迅速發展。1949年,A.塞爾伯格與P.愛爾特希分別給出了對于素數定理的一個十分初等的分析證明,當然它是很復雜的。

解析數論起源于素數分布、哥德巴赫猜想、華林問題以及格點問題的研究、解析數論的方法主要有復變積分法、圓法、篩法、指數和方法、特征和方法、密率等。

Fibonacci函式,1+1=2.1+2=3.2+3=5。。。。。

解析數論的基礎

歐拉恆等式(*)是數論中最重要的定理之一,是算術基本定理的解析等價形式,揭示了素數p和自然數n之間的積性關系。他還提出了母函式法,利用冪級數來研究整數分拆,這導致圓法和指數和方法的產生。其後,P.G.L.狄利克雷套用分析方法于1837年解決了首項與公差互素的算術級數中有無限多個素數的問題,又于1839年推證出二次域的類數公式。他創立了研究數論的兩個重要工具,即狄利克雷(剩餘)特征標與狄利克雷l函式,奠定了解析數論的基礎。

1859年,(G.F.)B.黎曼發表了一篇關于不大于x的素數個數π(x)的著名論文《論不大于一個給定值的素數個數》,這是他在數論方面公開發表的惟一的文章。他把恆等式(*)的右邊的級數記作ζ(s),所不同之處是把s看作復變數。現在稱ζ(s)為黎曼ζ函式。他認為素數性質可以通過復變函式ζ(s)來探討,並對復變函式ζ(s)做了深刻的研究,得到許多重要結果。特別是他建立了一個與ζ(s)的零點有關的表示π(x)的公式。因此研究素數分布的關鍵在于研究復變函式 ζ(s)的性質,特別是ζ(s)的零點性質。這一傑出的工作,是復變函式論的思想和方法套用于數論研究的結果。黎曼開創了解析數論的新時期,也推動了單復變函式論的發展。在文章中他提出了一個猜想:ζ(s)的所有復零點都在直線 Res=1/2上。這就是所謂黎曼猜想。它是至今沒有解決的最著名的數學問題之一。它的研究對解析數論和代數數論的發展都有極其深刻的影響。

解析數論的發展

1896年,J.(-S.)阿達馬與C.de la瓦萊-普桑嚴格地按照黎曼提出的方法和結果,用整函式理論,同時證明了素數定理:當x→∞時,π(x)~x(lnx)-1。從此解析數論開始得到迅速發展,而在此以前的30年中卻無顯著進展。 在數論中套用分析方法,大致有兩種情況:一是數論問題本身不涉及分析概念。這類問題又可分為兩種情形,或者有一些問題不套用分析方法就不能解決,例如,上述的狄利克雷的兩個工作、三素數定理(見數論、堆壘數論)、華林問題;或者有一些問題套用分析方法可使證明簡單、可以對問題做定量研究,例如,套用母函式法對整數分拆的一些恆等式的證明、歐拉證明素數有無窮多個的分析方法導致H.默滕斯證明了關于素數平均分布的三個定理、堆壘數論的許多問題引入分析方法證明解的存在性,得出解數的漸近公式或上下界估計。二是數論問題本身必須用分析概念才能表達清楚。例如,關于素數定理,即不大于x的素數個數π(x)等于多少的問題(見素數分布)。此外,利用分析概念還可提出新的數論問題,例如各種數論函式的階估計及均值估計(見格點問題)。

解析數論解析數論

解決一個數論問題需要用到多深的分析工具,或者能否不用分析工具。這也是數學家努力為之探索的問題。例如,在1949年A.賽爾伯格與P.愛爾特希不利用ζ函式,且除了極限、ex和lnx的性質外,也不需要其他的分析知識,給出了素數定理一個十分初等的分析證明。當然它是很復雜的。 解析數論起源于素數分布、哥德巴赫猜想、華林問題以及格點問題的研究。解析數論的方法主要有復變積分法、圓法、篩法、指數和方法、特征和方法、密率等。模形式論與解析數論有密切關系。

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