直線 -幾何學名詞術語

直線

數學中的直線是兩端都沒有端點、可以向兩端無限延伸、不可測量長度的。
  • 中文名稱
    直線
  • 外文名稱
    straight line
  • 分類
    幾何

基本定義

直線(Straight line)是幾何學基本概念,是點在空間內沿相同或相反方向運動的軌跡。或者定義為:曲率最小的曲線(以無限長為半徑的圓弧)。
從平面解析幾何的角度來看,平面上的直線就是由  直線
平面直角坐標系中的一個二元一次方程所表示的圖形。
求兩條直線的交點,隻需把這兩個二元一次方程聯立求解,當這個聯立方程組無解時,二直線平行;有無窮多解時,二直線重合;隻有一解時,二直線相交于一點。常用直線與 X 軸正向的夾角( 叫直線的傾斜角)或該角的正切(稱直線的斜率)來表示平面上直線(對于X軸)的傾斜程度。可以通過斜率來判斷兩條直線是否互相平行或互相垂直,也可計算它們的交角。直線與某個坐標軸的交點在該坐標軸上的坐標,稱為直線在該坐標軸上的截距。直線在平面上的位置,由它的斜率和一個截距完全確定。
在空間,兩個平面相交時,交線為一條直線。因此,在空間直角坐標系中,用兩個表示平面的三元一次方程聯立,作為它們相交所得直線的方程。
空間直線的方向用一個與該直線平行的非零向量來表示,該向量稱為這條直線的一個方向向量。直線在空間中的位置, 由它經過的空間一點及它的一個方向向量完全確定。在歐幾裏得幾何學中,直線隻是一個直觀的幾何對象。在建立歐幾裏得幾何學的公理體系時,直線與點、平面等都是不加定義的,它們之間的關系則由所給公理刻畫。
在非歐幾何中直線指連線兩點間最短的線,又稱短程線。
方向向量:截取直線l上兩點A(l,n,0)和B(k+l,m+n,1)方向向量為:AB=(k,m,1)

直線 直線

直線性質

直線是軸對稱圖形[1]。它有無數條對稱軸,其中一條是它本身,還有任意一條與它垂直的直線。
因為在直線的任意一點作它的垂線,直線可以看作被分成兩條方向相反的射線,將一條射線沿這條垂線折疊,這兩條射線就重合了。所以說,直線有無數條對稱軸。

直線特點

沒有端點,可以向兩端無限延長,長度無法度量。

直線方程

平面方程

1、一般式:適用于所有直線
Ax+By+C=0 (其中A、B不同時為0)
2、點斜式:知道直線上一點(x0,y0),並且直線的斜率k存在,則直線可表示為
y-y0=k(x-x0)
當k不存在時,直線可表示為
x=x0
3、斜截式:在y軸上截距為b(即過(0,b)),斜率為k的直線
由點斜式可得斜截式y=kx+b
與點斜式一樣,也需要考慮K存不存在
4、截距式:不適用于和任意坐標軸垂直的直線
知道直線與x軸交于(a,0),與y軸交于(0,b),則直線可表示為
bx+ay-ab=0
特別地,當ab均不為0時,斜截式可寫為x/a+y/b=1
5、兩點式:過(x1,y1)(x2,y2)的直線
(y-y1)/(y1-y2)=(x-x1)/(x1-x2)(斜率k需存在)
6、法線式
Xcosθ+ysinθ-p=0
其中p為原點到直線的距離,θ為法線與X軸正方向的夾角
7、點方向式 (X-X0)/U=(Y-Y0)/V
(U,V不等于0,即點方向式不能表示與坐標平行的式子)
8、點法向式
a(X-X0)+b(y-y0)=0

空間方程

1、一般式
ax+bz+c=0,dy+ez+fc=0
2、點向式:
設直線方向向量為(u,v,w ),經過點( x0,y0,z0)
(X-X0)/u=(Y-Y0)/v=(x-x0)/w
3、x0y式
x=kz+b,y=lz+b

直線公理

在平面上過兩點有且隻有一條直線,即兩點確定一條直線。
而在球面上,過兩點可以做無數條直線。

有關直線

設平面e的法向量為c 直線m、n的方向向量為a、b
把平面ax+by+cz+d=0的法向量為(a,b,c);直線x=kz+b,y=lz+a的方向向量為(k,l,1)代入即可
則直線所成的角:m,n所成的角為a。
cosa=cos<a,b>=|a*b|/|a||b|
直線和平面所成的角: 設b為m和e所成的角,則b=π/2±<a,c>。sinb=|cos<a,c>|=|a*c|/|a||c|
平面兩直線所成的角:設K(l1)=k1,K(l2)=k2(k1k2≠-1)tan<l1,l2>=(k1-k2)/(1+k1k2)

距離

異面直線的距離:l1、l2為異面直線,l1,l2公垂直線的方向向量為n,C、D為l1、l2上任意一點,l1到l2的距離為|AB|=|CD*n|/|n|
點到平面的距離:設PA為平面的一條斜線,O是P點在a內的射影,PA和a所成的角為b,n為a的法向量。
易得:|PO|=|PA|sinb=|PA|*|cos<PA,n>|=|PA|*(|PA*n|/|PA||n|)=|PA*n|/|PA|
直線到平面的距離為在直線上一點到平面的距離;
點到直線的距離:A∈l,O是P點在l上的射影,PA和l所成的角為b,s為l的方向向量。
易得:|PO|=|PA|*|sinb|=|PA|*|sin<PA,s>|=|(PA|^2|s|^2|-|PA*s|^2)^1/2/|s|
平面內:直線ax+by+c=0到M(m,n)的距離為|am+bn+c|/(a^2+b^2)^1/2
平行直線:l1ax+by+c=0,l2ax+by+d=0l1到l2的距離為|c-d|/(a^2+b^2)^1/2
備註 :
直線是曲線的暫短停留。

相關位置關系

直線和直線

平面幾何:平行和相交
在同一平面的兩條直線之間,有平行、相交(包括垂直)、重合三種位置關系。
設直角坐標平面上兩條直線的方程分別為:
L1:a1X+b1Y+c1=0
L2:a2X+b2Y+c2=0
當a1/a2≠b1/b2 則兩直線相交
當a1/a2=b1/b2≠c1/c2 則兩直線平行
當a1/a2=b1/b2=c1/c3 則兩直線重合
當a1a2+b1b2=0 則兩直線垂直
空間幾何:異面,平行和相交
l1:x=kz+b,y=lz+a l2:x=k1z+b1,l1z+a1=y
相交:有公共點
平行:k1/k=l1/l
異面:無公共點且k1/k≠l1/l
垂直:k*k1+l*l1=-1

直線和平面

設直線方程為x=kz+b,y=lz+a,平面方程為cx+dy+ez+f=0,p=k+l+e,q=a+b+f  屬于:p=0,q=0  平行:p=0,q≠0  相交:p≠0

與一次函式

一次函式y=kx+b(x∈R,k∈R,b∈R,y∈R)的圖象是一條直線,其與y軸交于(0,b),與x軸交于(-b/k,0)
仰角(與x軸正半軸的交角θ∈(0,π))滿足
(1)當θ∈(0,π/2)時,θ=arctan k
(2)當θ∈(π/2,π)時,θ=π + arctan k

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