焦半徑

焦半徑

圓錐曲線上任意一點M與圓錐曲線焦點的連線段,叫做圓錐曲線焦半徑。圓錐曲線上一點到焦點的距離,不是定值。

  • 中文名稱
    焦半徑
  • 領域
    數學 
  • 定 義
    圓錐曲線上一點M與焦點的連線段 
  • 公 式
    r=a-ex

定義

圓錐曲線上任意一點M與圓錐曲線焦點的連線段,叫做圓錐曲線焦半徑。

圓錐曲線上一點到焦點的距離,不是定值。

公式

橢圓過右焦點的半徑r=a-ex

過左焦點的半徑r=a+ex

過上焦點的半徑r=a-ey

過下焦點的半徑r=a+ey

雙曲線過右焦點的半徑r=|ex-a|

雙曲線過左焦點的半徑r=|ex+a|

雙曲線過下焦點的半徑r=|ey+a|

雙曲線過上焦點的半徑r=|ey-a|

(其中e是橢圓的離心率,e=c/a)

拋物線焦點x,開口右的半徑r=p/2+x0;焦點x,開口左的半徑r=p/2-x0;焦點y,開口上的半徑r=p/2+y0;焦點y,開口下的半徑r=p/2-y0

記憶方法:

橢圓的焦半徑是左加,右減;下加,上減。雙曲線的焦半徑是左加套絕對值,右減套絕對值;下加套絕對值,上減套絕對值。

推導

橢圓

設M(x0,y0)是橢圓x2/a2+ y2/b2=1(a>b>0)的一點,r1和r2分別是點M與點F1(-c,0),F2(c,0)的距離,那麽(左焦半徑)r1=a+ex0,(右焦半徑)r2=a -ex0,其中e是離心率。 推導:r1/∣MN1∣= r2/∣MN2∣=e 可得:r1= e∣MN1∣= e(a^2/ c+x0)= a+ex0,r2= e∣MN2∣= e(a^2/ c-x0)= a-ex0。 同理:∣MF1∣= a+ey0,∣MF2∣= a-ey0。

焦半徑

雙曲線

當雙曲線的方程為x²/a²-y²/b²=1,左右焦點F1,F2分別為F1(-C,0),F2(C,0),設雙曲線上任一點P(x0,y0),則y0²=b²/a²*x0²-b²

PF1²=(x0+c)²+y0²=(x0+c)²+b²/a²*x0²-b²

=(1+b²/a²)x²+2cx0+c²-b²

=c²/a²*x²+2cx0+a²

=e²x0²+2aex0+a²

=(ex0+a)²

PF1=|ex0+a|

PF2²=(x0-c)²+y0²=(x0-c)²+b²/a²*x0²-b²

=(1+b²/a²)x²-2cx0+c²-b²

=c²/a²*x²-2cx0+a²

=e²x0²-2aex0+a²

=(ex0-a)²

PF2=|ex0-a|

當點P在左支上時,PF1=-(ex0+a),PF2=a-ex0

當點P在右支上時,PF1=ex0+a,PF2=ex0-a

當雙曲線的方程為y²/a²-x²/b²=1,上下焦點F1,F2分別為F1(0,-c),F2(0,c),設雙曲線上任一點P(x0,y0),則x0²=b²/a²*y0²-b²

PF1²=x0²+(y0+c)²=b²/a²*y0²-b²+(y0+c)²

=(1+b²/a²)y0²+2cy0+c²-b²

=c²/a²*y0²+2cy0+a²

=e²y0²+2aey0+a²

=(ey0+a)²

PF1=|ey0+a|

PF2²=x0²+(y0-c)²

=b²/a²*y0²-b²+(y0-c)²

=(1+b²/a²)y0²-2cy0+c²-b²

=c²/a²*y0²-2cy0+a²

=e²y0²-2aey0+a²

=(ey0-a)²

PF2=|ey0-a|

當點P在下支上時,PF1=-(ey0+a),PF2=a-ey0

當點P在上支上時,PF1=ey0+a,PF2=ey0-a

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