橢圓 -圓錐曲線的一種

橢圓

圓錐曲線的一種
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在數學中,橢圓是平面上到兩個固定點的距離之和是同一個常數的軌跡。這兩個固定點叫做焦點。它是圓錐曲線的一種,即圓錐與平面的截線。 橢圓在方程上可以寫為標準式x²/a²+y²/b²=1。

  • 中文名稱
    橢圓
  • 外文名稱
    Ellipse²
  • 面積公式
    S=πab
  • 周長公式
    L≈2π√((a²+b²)/2)
  • 基本公式
    x²/a²+y²/b²=1(a>0,b>0且a≠b)
  • 公式說明
    x為水準軸長、a為實軸長、b為虛軸長

橢圓的第一定義

平面內與兩定點F1、F2的距離的和等于常數2a(2a>|F1F2|)的動點P的軌跡叫做橢圓

橢圓定義說明橢圓定義說明

橢圓定義說明

即:│PF1│+│PF2│=2a

其中兩定點F1、F2叫做橢圓的焦點,兩焦點的距離│F1F2│=2c<2a叫做橢圓的焦距。P 為橢圓的動點。

長軸為 2a; 短軸為 2b。

橢圓的第二定義

平面內到定點F的距離與到定直線的距離之比為常數e(即橢圓的離心率,e=c/a)的點的集合(定點F不在定直線上,該常數為小于1的正數) 其中定點F為橢圓的焦點,定直線稱為橢圓的準線(該定直線的方程是x=±a^2/c[焦點在X軸上];或者y=±a^2/c[焦點在Y軸上])。

橢圓的其他定義

根據橢圓的一條重要性質,也就是橢圓上的點與橢圓短軸兩端點連線的斜率之積是定值 定值為e^2-1 可以得出:平面內與兩定點的連線的斜率之積是常數k的動點的軌跡是橢圓,此時k應滿足一定的條件,也就是排除斜率不存在的情況,還有K應滿足<0且不等于-1。

簡單幾何性質

1、範圍:焦點在x軸上-a≤x≤a -b≤y≤b;焦點在y軸上-b≤x≤-b -a≤y≤a

2、對稱性:關于X軸對稱,Y軸對稱,關于原點中心對稱。

3、頂點:(a,0)(-a,0)(0,b)(0,-b)

4、離心率:e=c/a

5、離心率範圍 0<e<1

6、離心率越大橢圓就越扁,越小則越接近于圓

7.焦點 (當中心為原點時)(-c,0),(c,0)

切線與法線的幾何性質

定理1:設F1、F2為橢圓C的兩個焦點,P為C上任意一點。若直線AB切橢圓C于點P,且A和B在直線上位于P的兩側,則∠APF1=∠BPF2。

定理2:設F1、F2為橢圓C的兩個焦點,P為C上任意一點。若直線AB為C在P點的法線,則AB平分∠F1PF2。

上述兩定理的證明可以查看參考資料。

方程

橢圓的標準方程

高中課本在平面直角坐標系中,用方程描述了橢圓,橢圓的標準方程中的"標準"指的是中心在原點,對稱軸為坐標軸。

F點在X軸F點在X軸

F點在X軸

橢圓的標準方程有兩種,取決于焦點所在的坐標軸:

1)焦點在X軸時,標準方程為:x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)

2)焦點在Y軸時,標準方程為:y^2/a^2+x^2/b^2=1 (a>b>0)

其中a>0,b>0。a、b中較大者為橢圓長半軸長,較短者為短半軸長(橢圓有兩條對稱軸,對稱軸被橢圓所截,有兩條線段,它們的一半分別叫橢圓的長半軸和短半軸或半長軸半短軸)當a>b時,焦點在x軸上,焦距為2*(a^2-b^2)^0.5,焦距與長、短半軸的關系:b^2=a^2-c^2,準線方程是x=a^2/c和x=-a^2/c ,c為橢圓的半焦距。

又及:如果中心在原點,但焦點的位置不明確在X軸或Y軸時,方程可設為mx^2+ny^2=1(m>0,n>0,m≠n)。即

F點在Y軸F點在Y軸

F點在Y軸

標準方程的統一形式。

橢圓的面積是πab。橢圓可以看作圓在某方向上的拉伸,它的參數方程是:x=acosθ , y=bsinθ

標準形式的橢圓在(x0,y0)點的切線就是 :xx0/a^2+yy0/b^2=1。橢圓切線的斜率是:-b^2x0/a^2y0,這個可以通過很復雜的代數計算得到。

橢圓的一般方程

Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0(A>0,B>0,且A≠B)。

橢圓的參數方程

x=acosθ , y=bsinθ。

橢圓的極坐標方程

(一個焦點在極坐標系原點,另一個在θ=0的正方向上)

r=a(1-e^2)/(1-ecosθ)

(e為橢圓的離心率=c/a)

有關公式

橢圓的面積公式

S=π(圓周率)×a×b(其中a,b分別是橢圓的長半軸,短半軸的長)。

或S=π(圓周率)×A×B/4(其中A,B分別是橢圓的長軸,短軸的長)。

橢圓的周長公式

橢圓周長沒有公式,有積分式或無限項展開式。

橢圓周長(L)的精確計算要用到積分或無窮級數的求和。如

L = ∫[0,π/2]4a * sqrt(1-(e*cost)&sup2;)dt≈2π√((a&sup2;+b&sup2;)/2) [橢圓近似周長],其中a為橢圓長半軸,e為離心率

橢圓離心率的定義為橢圓上焦距與長軸的比值,(範圍:大于0 小于1)

橢圓的準線方程 x=±a^2/c

橢圓的離心率公式

e=c/a(0<e<1),因為2a>2c。離心率越大,橢圓越扁平;離心率越小,橢圓越接近于圓形。

橢圓的焦準距:橢圓的焦點與其相應準線(如焦點(c,0)與準線x=+a^2/c) 的距離為b^2/c

橢圓焦半徑公式

焦點在x軸上:|PF1|=a+ex |PF2|=a-ex(F1,F2分別為左右焦點)

橢圓過右焦點的半徑r=a-ex

過左焦點的半徑r=a+ex

焦點在y軸上:|PF1|=a-ey |PF2|=a+ey(F1,F2分別為上下焦點)

橢圓的通徑:過焦點的垂直于x軸(或y軸)的直線與橢圓的兩交點A,B之間的距離,即|AB|=2*b^2/a

橢圓的斜率公式

過橢圓上x^2/a^2+y^2/b^2=1上一點(x,y)的切線斜率為 -(b^2)X/(a^2)y

三角形面積公式

若有一三角形兩個頂點在橢圓的兩個焦點上,且第三個頂點在橢圓上

那麽若∠F1PF2=θ,則S=(b^2)tan(θ/2)。

橢圓的曲率公式

K=ab/[(b^2-a^2)(cosθ)^2+a^2]^(3/2)

點、直線與橢圓的關系

點與橢圓位置關系

點M(x0,y0) 橢圓 x^2/a^2+y^2/b^2=1

點在圓內:x0^2/a^2+y0^2/b^2<1

點在圓上:x0^2/a^2+y0^2/b^2=1

點在圓外:x0^2/a^2+y0^2/b^2>1

相交 相離 相切

直線與橢圓位置關系

y=kx+m ①

x^2/a^2+y^2/b^2=1 ②

由①②可推出x^2/a^2+(kx+m)^2/b^2=1

相切△=0

相離△<0無交點

相交△>0 可利用弦長公式:設A(x1,y1) B(x2,y2)

求中點坐標

根據韋達定理 x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a

帶入直線方程可求出 y+y/2=可求出中點坐標。

|AB|=d = √(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1*x2] = √(1+1/k^2)[(y1+y2)^2-4x1*x2]

橢圓參數方程的套用

求解橢圓上點到定點或到定直線距離的最值時,用參數坐標可將問題轉化為三角函式問題求解

x=a×cosβ, y=b×sinβ a為長軸長的一半

相關性質

由于平面截圓錐(或圓柱)得到的圖形有可能是橢圓,所以它屬于一種圓錐曲線(也稱圓錐截線)。

例如:有一個圓柱,被截得到一個截面,下面證明它是一個橢圓(用上面的第一定義):

將兩個半徑與圓柱半徑相等的半球從圓柱兩端向中間擠壓,它們碰到截面的時候停止,那麽會得到兩個公共點,顯然他們是截面與球的切點。

設兩點為F1、F2

對于截面上任意一點P,過P做圓柱的母線Q1、Q2,與球、圓柱相切的大圓分別交于Q1、Q2

則PF1=PQ1、PF2=PQ2,所以PF1+PF2=Q1Q2

由定義1知:截面是一個橢圓,且以F1、F2為焦點

用同樣的方法,也可以證明圓錐的斜截面(不通過底面)為一個橢圓

例:已知橢圓C:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的離心率為√6/3,短軸一個端點到右焦點的距離為√3.

1.求橢圓C的方程.

2.直線l:y=x+1與橢圓交于A,B兩點,P為橢圓上一點,求△PAB面積的最大值.

3.在⑵的基礎上求△AOB的面積.

一 分析短軸的端點到左右焦點的距離和為2a,端點到左右焦點的距離相等(橢圓的定義),可知a=√3,又c/a=√6/3,代入得c=√2,b=√(a^2-c^2)=1,方程是x^2/3+y^2/1=1,

二 要求面積,顯然以ab作為三角形的底邊,聯立x^2/3+y^2/1=1,y=x+1解得x1=0,y1=1,x2=-1.5,y2=-0.5.利用弦長公式有√(1+k^2))[x2-x1](中括弧表示絕對值)弦長=3√2/2,對于p點面積最大,它到弦的距離應最大,假設已經找到p到弦的距離最大,過p做弦的平行線,可以 發現這個平行線是橢圓的切線是才會最大,這個切線和弦平行故斜率和弦的斜率=,設y=x+m,利用判別式等于0,求得m=2,-2.結合圖形得m=-2.x=1.5,y=-0.5,p(1.5,-0.5),

三 直線方程x-y+1=0,利用點到直線的距離公式求得√2/2,面積1/2*√2/2*3√2/2=3/4,

歷史

橢圓有一些光學性質:橢圓的面鏡(以橢圓的長軸為軸,把橢圓轉動180度形成的立體圖形,其內表面全部做成反射面,中空)可以將某個焦點發出的光線全部反射到另一個焦點處;橢圓的透鏡(某些截面為橢圓)有匯聚光線的作用(也叫凸透鏡),老花眼鏡、放大鏡和遠視眼鏡都是這種鏡片(這些光學性質可以通過反證法證明)

Apollonius 所著的八冊《圓錐曲線論》集其大成,可以說是古希臘幾何學一個登峰造極的精擘之作。當時對于這種既簡樸又完美的曲線的研究,乃是純粹從幾何學的觀點,研討和圓密切相關的這種曲線;它們的幾何乃是圓的幾何的自然推廣,在當年這是一種純理念的探索,並不寄望也無從預期它們會真的在大自然的基本結構中扮演著重要的角色。此事一直到十六、十七世紀之交,Kepler 行星運行三定律的發現才知道行星繞太陽運行的軌道,乃是一種以太陽為其一焦點的橢圓。Kepler 三定律乃是近代科學開天闢地的重大突破,它不但開創了天文學的新紀元,而且也是牛頓萬有引力定律的根源所在。由此可見,圓錐截線不單單是幾何學家所愛好的精簡事物,它們也是大自然的基本規律中所自然選用的精要之一。

橢圓手工畫法

手繪橢圓方法一

畫長軸AB,短軸CD,AB和CD互垂平分于O點。⑵:連線AC。⑶:以O為圓心,OA為半徑作圓弧交OC延長線于E點。⑷:以C為圓心,CE為半徑作圓弧與AC交于F點。⑸:作AF的垂直平分線交CD延長線于G點,交AB于H點。⑹:截取H,G對于O點的對稱點H',G' ⑺:H,H'為長軸圓心,分別以HB、H'A為半徑;G,G'為短軸原心,分別以GC、G'D為半徑。

用一根線或者細銅絲,鉛筆,2個圖釘或大頭針畫橢圓的方法:先畫好長短軸的十字線,在長軸上以圓點為中心先找2個大于短軸半徑的點,一個點先用圖釘或者大頭針栓好線固定住,另一個點的線先不要固定,用筆帶住線去找長短軸的4個頂點,此步驟需要多次定位,直到都正好能于頂點吻合後固定住這2個點,用筆帶住線,直接畫出橢圓:)使用細銅絲最好,因為線的彈性較大畫出來不一定準確!

手繪橢圓方法二

橢圓的焦距│FF'│(Z)定義,為已知橢圓所構成的長軸X(ab)與短軸Y(cd)則以長軸一端A為圓心短軸Y為半徑畫弧,從長軸另一段點B引出與弧相切的線段則為該橢圓焦距,求證公式為2√{(Z/2)^2+(Y/2)^2}+Z=X+Z(平面內與兩定點F、F'的距離的和等于常數2a(2a>|FF'|)的動點P的軌跡叫做橢圓),可演變為z=√x^2-y^2(x>y>0)。

已知長軸與短軸尺寸,兩焦點焦距尺規作圖法已知長軸與短軸尺寸,兩焦點焦距尺規作圖法

已知長軸與短軸尺寸,兩焦點焦距尺規作圖法

Z兩端點F、F'為定點。取有韌性切伸縮系數越小越好的線,環繞線段AF'或者FB線段任意一組為長度,以該長度為固定三角形周長,以F、F' 為定點、取構成該三角形上的第三點為動點畫弧則構成該橢圓。

Ellipse(橢圓)函式

函式功能:該函式用于畫一個橢圓,橢圓的中心是限定矩形的中心,使用當前畫筆畫橢圓,用當前的畫刷填充橢圓。

函式原型:BOOL Ellipse(HDC hdc,int nLeftRect,int nTopRect,nRightRect,int nBottomRect).

參數:

hdc:設備環境句柄。

nLeftRect:指定限定橢圓左上角的X坐標。

nTopRect:指定限定橢圓左上角的Y坐標。

nRightRect:指定限定橢圓右下角的X坐標。

nBottomRect:指定限定橢圓右下角的Y坐標。

返回值:如果函式調用成功,返回值非零;如果函式調用失敗,返回值是0。

電腦圖形學約束

橢圓必須一條直徑與X軸平行,另一條直徑Y軸平行。不滿足此條件的幾何學橢圓在電腦圖形學上視作一般封閉曲線。

橢圓有一些光學性質:橢圓的面鏡(以橢圓的長軸為軸,把橢圓轉動180度形成的立體圖形,其內表面全部做成反射面,中空)可以將某個焦點發出的光線全部反射到另一個焦點處;橢圓的透鏡(某些截面為橢圓)有匯聚光線的作用(也叫凸透鏡),老花眼鏡、放大鏡和遠視眼鏡都是這種鏡片(這些光學性質可以通過反證法證明)

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