極限 -數學術語

極限

數學術語:極限

極限是微積分中的基礎概念,它指的是變數在一定的變化過程中,從總的來說逐漸穩定的這樣一種變化趨勢以及所趨向的值(極限值)。極限的概念最終由柯西和魏爾斯特拉斯等人嚴格闡述。在現代的數學分析教科書中,幾乎所有基本概念(連續、微分、積分)都是建立在極限概念的基礎之上。

  • 中文名稱
    極限
  • 外文名稱
    limit
  • 定義人
    柯西和魏爾斯特拉斯等人
  • 學科
    數學家
  • 用途
    微積分學
  • 符號
    lim

釋義

詞目:極限 拼音:jí xiàn 英語解釋:the limit;the maximum;[數] limit

極限

指最大值或最小值

基本解釋

1.是指無限趨近于一個固定的數值。

2.數學名詞。在高等數學中,極限是一個重要的概念。

極限可分為數列極限函式極限.

學習微積分學,首要的一步就是要理解到,“極限”引入的必要性:因為,代數是人們已經熟悉的概念,但是,代數無法處理“無限”的概念。所以為了要利用代數處理代表無限的量,于是精心構造了“極限”的概念。在“極限”的定義中,我們可以知道,這個概念繞過了用一個數除以0的麻煩,而引入了一個過程任意小量。就是說,除數不是零,所以有意義,同時,這個過程小量可以取任意小,隻要滿足在Δ的區間內,都小于該任意小量,我們就說他的極限為該數——你可以認為這是投機取巧,但是,他的實用性證明,這樣的定義還算比較完善,給出了正確推論的可能。這個概念是成功的。

數列極限標準定義:對數列{xn},若存在常數a,對于任意ε>0,總存在正整數N,使得當n>N時,|xn-a|<ε成立,那麽稱a是數列{xn}的極限。

函式極限標準定義:設函式f(x),|x|大于某一正數時有定義,若存在常數A,對于任意ε>0,總存在正整數X,使得當x>X時,|f(x)-A|<ε成立,那麽稱A是函式f(x)在無窮大處的極限。

設函式f(x)在x0處的某一去心鄰域內有定義,若存在常數A,對于任意ε>0,總存在正數δ,使得當

|x-xo|<δ時,|f(x)-A|<ε成立,那麽稱A是函式f(x)在x0處的極限。

極限的性質

數列極限的基本性質

1.極限的不等式性質

2.收斂數列的有界性

設Xn收斂,則Xn有界。(即存在常數M>0,|Xn|≤M, n=1,2,...)

3.夾逼定理

4.單調有界準則:單調有界的數列(函式)必有極限

函式極限的基本性質

1.極限的不等式性質

2.極限的保

3.存在極限的函式局部有界性

設當x→x0時f(x)的極限為A,則f(x)在x0的某空心鄰域U0(x0,δ) = {x| 0 < | x - x0 | < δ}內有界,即存在 δ>0, M>0,使得0 < | x - x0 | < δ 時 |f(x)| ≤M.

4.夾逼定理

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