李善蘭恆等式

李善蘭恆等式

李善蘭恆等式組合數學中的一個恆等式,由中國清代著名數學家李善蘭先生于1859年在《垛積比類》一書中首次提出,因此得名。

  • 中文名稱
    李善蘭恆等式
  • 時    間
    1859
  • 成    就
    《垛積比類》
  • 建立者

表達式

現代數學表達式如下圖所示:

李善蘭恆等式 李善蘭恆等式

其中

歷史

李善蘭生性落拓,潛心科學,淡于利祿晚年三品,授戶部、廣東、總理事務衙門章京等職,但他從來沒有離開過同文館教學崗位,也沒有中斷過科學研究特別是數學研究工作。他的數學著作,除《則古昔齋算學》外,尚有《考數根法》、《粟布演草》、《測圓海鏡解》、《九容圖表》,而未刊行者,有《造整數勾股級數法》、《開方古義》、《群經算學考》、《代數難題》等。

李善蘭在數學研究方面的成就,主要有尖錐術、垛積術和素數論三項。

尖錐術理論主要見于《方圓闡幽》(又稱《方園闡幽》)、《弧矢啓秘》、《對數探源》三種著作,成書年代約為1845年,當時解析幾何微積分學尚未傳入中國。李善蘭創立的""概念,是一種處理代數問題的幾何模型,他對"尖錐曲線"的描述實質上相當于給出了直線拋物線立方拋物線方程

他創造的"尖錐求積術",相當于冪函式的定積分公式和逐項積分法則。他用"分離元數法"獨立地得出了二項平方根的冪級數展開式。結合"尖錐求積術",得到了的無窮級數表達式

李善蘭編寫的微積分書籍李善蘭編寫的微積分書籍

各種三角函式反三角函式解析式,以及對數函式的展開式在使用微積分方法處理數學問題方面取得了創造性的成就。垛積術理論主要見于《垛積比類》,寫于1859~1867年間,這是有關高階等差級數的著作。李善蘭從研究中國傳統的垛積問題入手,獲得了一些相當于現代組合數學中的成果。例如,"三角垛有開方廉隅"和"乘方表"實質上就是組合數學中著名的第一種斯特林數和歐拉數。馳名中外的"李善蘭恆等式"自20世紀30年代以來,受到國際數學的普遍關註和贊賞。可以認為,《垛積比類》是早期組合論的傑作。

證明方法

李善蘭恆等式的現代數學證明方法李善蘭恆等式的現代數學證明方法

現代代數學證明李善蘭恆等式的常見方法有母函式法差分法組合替代法

(具體證明過程請參看左邊圖冊。)

李善蘭李善蘭

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