數學 -學科

數學

學科
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數學(mathematics),是研究數量、結構、變化、空間以及信息等概念的一門學科,從某種角度看屬于形式科學的一種。

借用《數學簡史》的話,數學就是研究集合上各種結構(關系)的科學,可見,數學是一門抽象的學科,而嚴謹的過程是數學抽象的關鍵。

數學在人類歷史發展和社會生活中發揮著不可替代的作用,也是學習和研究現代科學技術必不可少的基本工具。

  • 中文名稱
    數學
  • 外文名稱
    Mathematics
  • 學科門類
    一級學科
  • 學科特點
    嚴謹、深刻、套用廣泛

數學分支

1:數學史

2:數理邏輯與數學基礎

數學

a:演繹邏輯學(亦稱符號邏輯學)b:證明論 (亦稱元數學) c:遞歸論 d:模型論 e:公理集合論 f:數學基礎 g:數理邏輯與數學基礎其他學科

3:數論

a:初等數論 b:解析數論 c:代數數論 d:超越數論 e:丟番圖逼近 f:數的幾何 g:概率數論 h:計算數論 i:數論其他學科

4:代數學

a:線性代數 b:群論 c:域論 d:李群 e:李代數 f:Kac-Moody代數 g:環論 (包括交換環與交換代數,結合環與結合代數,非結合環與非結 合代數等) h:模論 i:格論 j:泛代數理論 k:範疇論 l:同調代數 m:代數K理論 n:微分代數 o:代數編碼理論 p:代數學其他學科

5:代數幾何學

6:幾何學

a:幾何學基礎 b:歐氏幾何學 c:非歐幾何學 (包括黎曼幾何學等) d:球面幾何學 e:向量和張量分析 f:仿射幾何學 g:射影幾何學 h:微分幾何學 i:分數維幾何 j:計算幾何學 k:幾何學其他學科

X軸Y軸X軸Y軸

7:拓撲學

a:點集拓撲學 b:代數拓撲學 c:同倫論 d:低維拓撲學 e:同調論 f:維數論 g:格上拓撲學 h:纖維叢論 i:幾何拓撲學 j:奇點理論 k:微分拓撲學 l:拓撲學其他學科

8:數學分析

a:微分學 b:積分學 c:級數論 d:數學分析其他學科

9:非標準分析

10:函式論

a:實變函式論 b:單復變函式論 c:多復變函式論 d:函式逼近論 e:調和分析 f:復流形 g:特殊函式論 h:函式論其他學科

11:常微分方程

a:定性理論 b:穩定性理論 c:解析理論 d:常微分方程其他學科

12:偏微分方程

a:橢圓型偏微分方程 b:雙曲型偏微分方程 c:拋物型偏微分方程 d:非線性偏微分方程 e:偏微分方程其他學科

13:動力系統

a:微分動力系統 b:拓撲動力系統 c:復動力系統 d:動力系統其他學科

14:積分方程

15:泛函分析

a:線性運算元理論 b:變分法 c:拓撲線性空間 d:希爾伯特空間 e:函式空間 f:巴拿赫空間 g:運算元代數 h:測度與積分 i:廣義函式論 j:非線性泛函分析 k:泛函分析其他學科

16:計算數學

a:插值法逼近論 b:常微分方程數值解 c:偏微分方程數值解 d:積分方程數值解 e:數值代數 f:連續問題離散化方法 g:亂數值實驗 h:誤差分析 i:計算數學其他學科

17:概率論

a:幾何概率 b:概率分布 c:極限理論 d:隨機過程 (包括正態過程與平穩過程、點過程等) e:馬爾可夫過程 f:隨機分析 g:鞅論 h:套用概率論 (具體套用入有關學科) i:概率論其他學科

18:數理統計學

a:抽樣理論 (包括抽樣分布、抽樣調查等 )b:假設檢驗 c:非參數統計 d:方差分析 e:相關回歸分析 f:統計推斷 g:貝葉斯統計 (包括參數估計等) h:試驗設計 i:多元分析 j:統計判決理論 k:時間序列分析 l:數理統計學其他學科

19:套用統計數學

a:統計質量控製 b:可靠性數學 c:保險數學 d:統計模擬

20:套用統計數學

21:運籌學

a:線性規劃 b:非線性規劃 c:動態規劃 d:組合最最佳化 e:參數規劃 f:整數規劃 g:隨機規劃 h:排隊論 i:對策論 亦稱博弈論 j:庫存論 k:決策論 l:搜尋論 m:圖論 n:統籌論 o:最最佳化 p:運籌學其他學科

22:組合數學
23:模糊數學

24:量子數學

25:套用數學 (具體套用入有關學科)

26:數學其他學科

發展歷史

數學(漢語拼音:shù xué;希臘語:μαθηματικ;英語:Mathematics),源自于古希臘語的μθημα(máthēma),其有學習、學問、科學之意.古希臘學者視其為哲學之起點,"學問的基礎".另外,還有個較狹隘且技術性的意義--"數學研究".即使在其語源內,其形容詞意義凡與學習有關的,亦會被用來指數學的。

古巴比倫泥板上的數學題古巴比倫泥板上的數學題

其在英語的復數形式,及在法語中的復數形式+es成mathématiques,可溯至拉丁文的中性復數(Mathematica),由西塞羅譯自希臘文復數τα μαθηματικά(ta mathēmatiká)。

在中國古代,數學叫作算術,又稱算學,最後才改為數學.中國古代的算術是六藝之一(六藝中稱為"數")。

數學起源于人類早期的生產活動,古巴比倫人從遠古時代開始已經積累了一定的數學知識,並能套用實際問題.從數學本身看,他們的數學知識也隻是觀察和經驗所得,沒有綜合結論和證明,但也要充分肯定他們對數學所做出的貢獻。

基礎數學的知識與運用是個人與團體生活中不可或缺的一部分.其基本概念的精煉早在古埃及、美索不達米亞及古印度內的古代數學文本內便可觀見.從那時開始,其發展便持續不斷地有小幅度的進展.但當時的代數學和幾何學長久以來仍處于獨立的狀態。

代數學可以說是最為人們廣泛接受的"數學".可以說每一個人從小時候開始學數數起,最先接觸到的數學就是代數學.而數學作為一個研究"數"的學科,代數學也是數學最重要的組成部分之一.幾何學則是最早開始被人們研究的數學分支。

直到16世紀的文藝復興時期,笛卡爾創立了解析幾何,將當時完全分開的代數和幾何學聯系到了一起.從那以後,我們終于可以用計算證明幾何學的定理;同時也可以用圖形來形象的表示抽象的代數方程.而其後更發展出更加精微的微積分。

西方最原始math(數學)套用之一,奇普西方最原始math(數學)套用之一,奇普

現時數學已包括多個分支.創立于二十世紀三十年代的法國的布爾巴基學派則認為:數學,至少純數學,是研究抽象結構的理論.結構,就是以初始概念和公理出發的演繹系統.他們認為,數學有三種基本的母結構:代數結構(群,環,域,格……)、序結構(偏序,全序……)、拓撲結構(鄰域,極限,連通性,維數……)。

數學被套用在很多不同的領域上,包括科學、工程、醫學和經濟學等.數學在這些領域的套用一般被稱為套用數學,有時亦會激起新的數學發現,並促成全新數學學科的發展.數學家也研究純數學,也就是數學本身,而不以任何實際套用為目標.雖然有許多工作以研究純數學為開端,但之後也許會發現合適的套用。

具體的,有用來探索由數學核心至其他領域上之間的連結的子領域:由邏輯、集合論(數學基礎)、至不同科學的經驗上的數學(套用數學)、以較近代的對于不確定性的研究(混沌、模糊數學)。

就縱度而言,在數學各自領域上的探索亦越發深入。

數學研究

結構

許多如數、函式、幾何等的數學對象反應出了定義在其中連續運算或關系的內部結構.數學就研究這些結構的性質,例如:數論研究整數在算數運算下如何表示.此外,不同結構卻有著相似的性質的事情時常發生,這使得通過進一步的抽象,然後通過對一類結構用公理描述他們的狀態變得可能,需要研究的就是在所有的結構裏找出滿足這些公理的結構.因此,我們可以學習群、環、域和其他的抽象系統.把這些研究(通過由代數運算定義的結構)可以組成抽象代數的領域.由于抽象代數具有極大的通用性,它時常可以被套用于一些似乎不相關的問題,例如一些古老的尺規作圖的問題終于使用了伽羅理論解決了,它涉及到域論和群論.代數理論的另外一個例子是線性代數,它對其元素具有數量和方向性的向量空間做出了一般性的研究.這些現象表明了原來被認為不相關的幾何和代數實際上具有強力的相關性.組合數學研究列舉滿足給定結構的數對象的方法.

空間

空間的研究源自于歐式幾何.三角學則結合了空間及數,且包含有非常著名的勾股定理.現今對空間的研究更推廣到了更高維的幾何、非歐幾何及拓撲學.數和空間在解析幾何、微分幾何和代數幾何中都有著很重要的角色.在微分幾何中有著纖維叢流形上的計算等概念.在代數幾何中有著如多項式方程的解集等幾何對象的描述,結合了數和空間的概念;亦有著拓撲群的研究,結合了結構與空間.李群被用來研究空間、結構及變化.

基礎

旋轉曲面旋轉曲面

主條目:數學基礎

為了弄清楚數學基礎,數學邏輯集合論等領域被發展了出來.德國數學家康托爾(1845-1918)首創集合論,大膽地向"無窮大"進軍,為的是給數學各分支提供一個堅實的基礎,而它本身的內容也是相當豐富的,提出了實無窮的思想,為以後的數學發展作出了不可估量的貢獻.

集合論在20世紀初已逐漸滲透到了各個數學分支,成為了分析理論,測度論,拓撲學及數理科學中必不可少的工具.20世紀初,數學家希爾伯特在德國傳播了康托爾的思想,把集合論稱為"數學家的樂園"和"數學思想最驚人的產物".英國哲學家羅素把康托的工作譽為"這個時代所能誇耀的最巨大的工作"

邏輯

主條目:數理邏輯

數學邏輯專註在將數學置于一堅固的公理架構上,並研究此一架構的成果.就其本身而言,其為哥德爾第二不完備定理的產地,而這或許是邏輯中最廣為流傳的成果.現代邏輯被分成遞歸論、模型論證明論,且和理論電腦科學有著密切的關聯性.

符號

主條目:數學符號

數學

也許我國古代的算籌是世界上最早使用的符號之一,起源于商代的佔卜.

我們現今所使用的大部分數學符號都是到了16世紀後才被發明出來的.在此之前,數學是用文字書寫出來,這是個會限製住數學發展的刻苦程式.現今的符號使得數學對于人們而言更便于操作,但初學者卻常對此感到怯步.它被極度的壓縮:少量的符號包含著大量的訊息.如同音樂符號一般,現今的數學符號有明確的文法和難以以其他方法書寫的訊息編碼.

語言

數學語言亦對初學者而言感到困難.如何使這些字有著比日常用語更精確的意思,亦困惱著初學者,如開放和域等字在數學裏有著特別的意思.數學術語亦包括如同胚及可積性等專有名詞.但使用這些特別符號和專有術語是有其原因的:數學需要比日常用語更多的精確性.數學家將此對語言及邏輯精確性的要求稱為"嚴謹".

周髀算經周髀算經

嚴謹是數學證明中很重要且基本的一部分.數學家希望他們的定理以系統化的推理依著公理被推論下去.這是為了避免依著不可靠的直觀,從而得出錯誤的"定理"或"證明",而這情形在歷史上曾出現過許多的例子.在數學中被期許的嚴謹程度因著時間而不同:希臘人期許著仔細的論點,但在牛頓的時代,所使用的方法則較不嚴謹.牛頓為了解決問題所作的定義,到了十九世紀才讓數學家用嚴謹的分析及正式的證明妥善處理.今日,數學家們則持續地在爭論電腦輔助證明的嚴謹度.當大量的計算難以被驗證時,其證明亦很難說是有效地嚴謹.

數量

數量的學習起于數,一開始為熟悉的自然數及整數與被描述在算術內的有理和無理數.

四元玉鑒四元玉鑒

另一個研究的領域為其大小,這個導致了基數和之後對無限的另外一種概念:阿列夫數,它允許無限集合之間的大小可以做有意義的比較.

數學簡史

西方數學簡史

數學的演進大約可以看成是抽象化的持續發展,或是題材的延展.而東西方文化也採用了不同的角度,歐洲文明發展出來幾何學,而中國則發展出算術.第一個被抽象化的概念大概是數位(中國的算籌),其對兩個蘋果及兩個橘子之間有某樣相同事物的認知是人類思想的一大突破.除了認知到如何去數實際物件的數量,史前的人類亦了解如何去數抽象概念的數量,如時間-日、季節和年.算術(加減乘除)也自然而然地產生了.

海島算經海島算經

更進一步則需要寫作或其他可記錄數位的系統,如符木或于印加人使用的奇普.歷史上曾有過許多各異的記數系統.

古時,數學內的主要原理是為了研究天文,土地糧食作物的合理分配,稅務和貿易等相關的計算.數學也就是為了了解數位間的關系,為了測量土地,以及為了預測天文事件而形成的.這些需要可以簡單地被概括為數學對數量、結構、空間及時間方面的研究.

西歐從古希臘到16世紀經過文藝復興時代,初等代數、以及三角學等初等數學已大體完備.但尚未出現極限的概念.

17世紀在歐洲變數概念的產生,使人們開始研究變化中的量與量的互相關系和圖形間的互相變換.在經典力學的建立過程中,結合了幾何精密思想的微積分的方法被發明.隨著自然科學和技術的進一步發展,為研究數學基礎而產生的集合論和數理邏輯等領域也開始慢慢發展.

中國數學簡史

主條目:中國數學史

楊輝三角楊輝三角

數學古稱算學,是中國古代科學中一門重要的學科,根據中國古代數學發展的特點,可以分為五個時期:萌芽;體系的形成;發展;繁榮和中西方數學的融合.

研究成果

中國古代算術的許多研究成果裏面就早已孕育了後來西方數學才涉及的思想方法,近現代也有不少世界領先的數學研究成果就是以華人數學家命名的:

九章算術九章算術

李善蘭恆等式數學家李善蘭級數求和方面的研究成果,在國際上被命名為"李善蘭恆等式"(或李氏恆等式).

【華氏定理】數學家華羅庚關于完整三角和的研究成果被國際數學界稱為"華氏定理";另外他與數學家王元提出多重積分近似計算的方法被國際上譽為"華-王方法".

蘇氏錐面數學家蘇步青在仿射微分幾何學方面的研究成果在國際上被命名為"蘇氏錐面".

熊氏無窮級數學家熊慶來關于整函式與無窮級的亞純函式的研究成果被國際數學界譽為"熊氏無窮級".

陳示性類數學家陳省身關于示性類的研究成果被國際上稱為"陳示性類".

【周氏坐標】數學家周煒良在代數幾何學方面的研究成果被國際數學界稱為"周氏坐標;另外還有以他命名的"周氏定理"和"周氏環".

華羅庚華羅庚

吳氏方法數學家吳文俊關于幾何定理機器證明的方法被國際上譽為"吳氏方法";另外還有以他命名的"吳氏公式".

王氏悖論數學家王浩關于數理邏輯的一個命題被國際上定為"王氏悖論".

柯氏定理數學家柯召關于卡特蘭問題的研究成果被國際數學界稱為"柯氏定理";另外他與數學家孫琦在數論方面的研究成果被國際上稱為"柯-孫猜測".

【陳氏定理】數學家陳景潤在哥德巴赫猜想研究中提出的命題被國際數學界譽為"陳氏定理".

【楊-張定理】數學家楊樂和張廣厚在函式論方面的研究成果被國際上稱為"楊-張定理".

【陸氏猜想】數學家陸啓鏗關于常曲率流形的研究成果被國際上稱為"陸氏猜想".

【夏氏不等式】數學家夏道行在泛函積分和不變測度論方面的研究成果被國際數學界稱為"夏氏不等式".

【姜氏空間】數學家姜伯駒關于尼爾森數計算的研究成果被國際上命名為"姜氏空間";另外還有以他命名的"姜氏子群".

侯氏定理數學家侯振挺關于馬爾可夫過程的研究成果被國際上命名為"侯氏定理".

李善蘭李善蘭

周氏猜測】數學家周海中關于梅森素數分布的研究成果被國際上命名為"周氏猜測".

王氏定理數學家王戌堂關于點集拓撲學的研究成果被國際數學界譽為"王氏定理".

【袁氏引理】數學家袁亞湘在非線性規劃方面的研究成果被國際上命名為"袁氏引理".

【景氏運算元】數學家景乃桓在對稱函式方面的研究成果被國際上命名為"景氏運算元".

【陳氏文法】數學家陳永川在組合數學方面的研究成果被國際上命名為"陳氏文法".

數學名言

外國人物

萬物皆數.--畢達哥拉斯

幾何無王者之道.--歐幾裏德

數學是上帝用來書寫宇宙的文字.--伽利略

我決心放棄那個僅僅是抽象的幾何.這就是說,不再去考慮那些僅僅是用來練思想的問題.我這樣做,是為了研究另一種幾何,即目的在于解釋自然現象的幾何.--笛卡兒(Rene Descartes 1596-1650)

數學家們都嘗試在這一天發現素數序列的一些秩序,我們有理由相信這是一個謎,人類的心靈永遠無法滲入。--歐拉

數學中的一些美麗定理具有這樣的特徵: 它們極易從事實中歸納出來, 但證明卻隱藏的極深.數學是科學之王.--高斯

這就是結構好的語言的好處,它簡化的記法常常是深奧理論的源泉.--拉普拉斯(Pierre Simon Laplace 1749-1827)

如果認為隻有在幾何證明裏或者在感覺的證據裏才有必然,那會是一個嚴重的錯誤.--柯西(Augustin Louis Cauchy 1789-1857)

寫滿數學公式的紙寫滿數學公式的紙

數學的本質在于它的自由.--康托爾(Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor 1845-1918)

音樂能激發或撫慰情懷,繪畫使人賞心悅目,詩歌能動人心弦,哲學使人獲得智慧,科學可改善物質生活,但數學能給予以上的一切.--克萊因(Christian Felix Klein 1849-1925)

隻要一門科學分支能提出大量的問題, 它就充滿著生命力, 而問題缺乏則預示獨立發展的終止或衰亡. --希爾伯特(David Hilbert 1862-1943)

問題是數學的心髒.--保羅·哈爾莫斯(Paul Halmos 1916-2006)

時間是個常數,但對勤奮者來說,是個'變數'.用'分'來計算時間的人比用'小時'來計算時間的人時間多59倍.--雷巴柯夫

中國人物

祖沖之祖沖之

事類相推,各有攸歸,故枝條雖分而同本幹知,發其一端而已.又所析理以辭,解體用圖,庶亦約而能周,通而不黷,覽之者思過半矣.--劉徽

遲疾之率,非出神怪,有形可檢,有數可推.--祖沖之(429-500)

新的數學方法和概念,常常比解決數學問題本身更重要.--華羅庚

數學表達上準確簡潔、邏輯上抽象普適、形式上靈活多變,是宇宙交際的理想工具.--周海中

科學需要實驗.但實驗不能絕對精確.如有數學理論,則全靠推論,就完全正確了.這科學不能離開數學的原因.

許多科學的基本觀念,往往需要數學觀念來表示.所以數學家有飯吃了,但不能得諾貝爾獎,是自然的.數學中沒有諾貝爾獎,這也許是件好事.諾貝爾獎太引人註目,會使數學家無法專註于自己的研究.--陳省身

現代高能物理到了量子物理以後,有很多根本無法做實驗,在家用紙筆來算,這跟數學家想樣的差不了多遠,所以說數學在物理上有著不可思議的力量.--丘成桐

看書和寫作業要註意順序.我們要養成良好的學習方法,盡量回家後先復習一下當天學習的知識,特別是所記的筆記要重點關照,然後再寫作業,這樣效果更佳.

學科分布

具有數學一級學科國家重點學科的大學 :

北京大學
北京協和醫學院-清華大學醫學部

清華大學

北京師範大學
南開大學
吉林大學
復旦大學
南京大學
浙江大學
中國科學技術大學
山東大學
四川大學

(註:一級學科國家重點學科所覆蓋的二級學科都是國家重點學科. )

具有數學二級學科國家重點學科的大學(不包括以上列表) :

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