數學競賽

數學競賽

 數學競賽是發現人才的有效手段之一。現代意義上的數學競賽是從匈牙利開始的。一些重大數學競賽的優勝者,大多在他們後來的事業中卓有建樹。因此,世界發達國家都十分重視數學競賽活動。十餘年來,我國中學數學競賽活動蓬勃發展,其影響越來越大,特別是我國中學生在影響最大、水準最高的國際數學奧林匹克競賽中,多次榮登榜首,成績令世人矚目,充分顯示了中華民族的聰明才智和數學才能。了解國際賽史,熟悉國內賽況,認識數賽意義是必要的,也是有益的。

  • 中文名稱
    數學競賽
  • 作    用
    發現數學人才的有效手段之一
  • 針對人群
    青少年
  • 開始地點
    匈牙利開始

概念解析

數學競賽與競賽數學的區別與聯系

競賽數學是一門學科的延伸,數學競賽是一項活動的舉行。 競賽數學是奧數的標準書面用語,奧數是奧林匹克數學的簡稱,泛指數學難題,奧林匹克數學是仿照奧林匹克運動得名,科學標準的說法應該叫競賽數學。

由于競賽數學是伴隨著數學競賽而產生的,因此,談到競賽數學的產生我們先要探究一下數學競賽。

1,數學競賽的簡史

組合組合

數學競賽與體育競賽相類似,它是青少年的一種智力競賽,所以蘇聯人首創了"數學奧林匹克"這個名詞。在類似的以基礎科學為競賽內容的智力競賽中,數學競賽歷史最悠久,參賽國最多,影響也最大。

比較正規的數學競賽是1894年在匈牙利開始的,除因兩次世界大戰及1956年事件而停止了7屆外,迄今已舉行過90多屆。蘇聯的數學競賽開始于1934年,美國的數學競賽則是1938年開始的。這兩個國家除第二次世界大戰期間各停止了3年外,均己舉行過50多屆,其他有長久數學競賽歷史的國家是羅馬尼亞(始于1902年)、保加利亞(始于1949年)和中國(始于1956年)。

2,數學競賽的發展

數學競賽活動是由個別城市,向整個國家,再向全世界逐步發展起來的。例如蘇聯的數學競賽就是先從列寧格勒和莫斯科開始,至1962年拓展至全國的,美國則是到1957年才有全國性的數學競賽的。

數學競賽活動也是由淺入深逐步發展的。幾乎每個國家的數學競賽活動都是先由一些著名數學家出面提倡組織,試題與中學課本中的習題很接近,然後逐漸深入,並有一些數學家花比較多的精力從事選題及競賽組織工作,這時的試題逐漸脫離中學課本範圍,當然仍要求用初等數學語言陳述試題並可以用初等數學方法求解。

例如蘇聯數學競賽之初,著名數學家柯爾莫哥洛夫、亞歷山大洛夫、狄隆涅等都參與過這一工作。在美國,則有著名數學家伯克霍夫父子、波利亞、卡普蘭斯基等參與過這項工作。

國際數學奧林匹克開始舉辦後,參賽各國的備賽工作往往主要是對選手進行一次強化培訓,以拓廣他們的知識,提高他們的解題能力。這種培訓課程是很難的,比中學數學深了很多。這時就需要少數數學家專門從事這項活動。

"競賽數學"是隨著數學教育課程的發展而產生的一門新課程。課程涉及數學競賽的內容、思想和方法;也涉及到數學競賽教育和數學課外教育的本質、方法、規律和途徑的問題;課外學習與課堂學習的關系問題;輔導教師的進修和提高的問題。課程以數學競賽所涉及的主要內容:數論、代數、幾何及組合數學為載體,尤其註重數學思想和方法的探究,以提高學生的數學素養為目標。

競賽數學又不同于上述這些數學領域。通常數學往往追求證明一些概括廣泛的定理,而競賽數學恰恰尋求一些特殊的問題,通常數學追求建立一般的理論和方法,而競賽數學則追求用特殊方法來解決特殊問題;而且一旦某個問題面世,即成為陳題,又需繼續創造新的問題。競賽數學屬于"硬"數學範疇,它通常也與純粹數學一樣,以其內在美,包括問題的簡練和解法的巧妙,作為衡量其價值的重要標準。

競賽數學不能脫離現有數學分支而獨立發展,否則就成了無源之水,所以它往往由某些領域的專家兼稿,如參加國際數學奧林匹克的中國代表團的出色教練單樽,就是一位數論專家。

發展史

古今的數學競賽

在世界上,以數為內容的競賽有著悠久的歷史:古希臘時就有解幾何難題的比賽;我國戰國時期齊威王與大將田忌的賽馬,實是一種對策論思想的比賽;到了16、17世紀,不少數學家喜歡提出一些問題向其他數學家挑戰,有時還舉行一些公開的比賽,方程的幾次公開比賽,賽題中就有最著名的費爾瑪大定理:在整數n≥3時,方程x^n+y^n=z^n沒有正整數解。

近代的數學競賽,仍然是解題的競賽,但主要在學生(尤其是高中生)之間進行。目的主要是為了發現與培育人才。

現代數學競賽開端

現代意義上的數學競賽是從匈牙利開始的。1894年,為紀念數理學會主席埃沃斯榮任教育大臣,數理學會通過一項決議:舉行以埃沃斯命名的,由高中學生參加的數學競賽,每年十月舉行,每次出三題,限4小時完成,允許使用任何參考書,試題以奧妙而奇特的形式見長,一般都有富創造特點的簡明解答。在埃沃斯的領導下,這一數學競賽對匈牙利的數學發展起了很大的作用,許多卓有成就的數學家、科學家都是歷屆埃沃斯競賽的優勝者,如1897年弗葉爾、1898年馮卡門等。

受到匈牙利的影響,數學競賽在東歐各國蓬勃開展:1902年羅馬尼亞,1934年前蘇聯,1949年保加利亞,1950年波蘭,1951年前捷克斯洛伐克等國家,相繼進行了數學競賽。

競賽名稱的確立

把中學生的數學競賽命名為"數學奧林匹克"的是前蘇聯,採用這一名稱的原因是數學競賽與體育競賽有著許多相似之處,兩者都崇尚奧林匹克精神。競賽的成果使人們意外地發現,數學競賽的強國往往也是體育競賽的強國,這給了人們一定的啓示。

1934年在列寧格勒,1935年在莫斯科,有關的國立大學分別組織了地區性的數學競賽,並稱之為"中學數學奧林匹克"。當時,莫斯科的著名數學家都參加了這一工作。前蘇聯的數學奧林匹克分為五級:學校奧林匹克,縣奧林匹克,地區奧林匹克,共和國奧林匹克,全國奧林匹克,再選出參加國際數學奧林匹克的六名代表。

數學競賽

國際數學奧林匹克

對國際間組織數學競賽最熱心的是羅馬尼亞的教授羅曼。經過他的積級策劃,1959年7月,第一屆國際數學奧林匹克(簡稱IMO)在羅馬尼亞古都布拉索舉行,拉開了國際數學競賽的帷幕。

當時參加競賽的學生共52名,分別來自東歐的羅馬尼亞、保加利亞、匈牙利、波蘭、前捷克斯洛伐克、前德意志民主共和國和前蘇聯等7個國家。每個國家有8名隊員,前蘇聯隻派了4名隊員。以後(除1980年由于東道主蒙古經費困難而暫停,屆數不計)每年舉行一次,到1990年在我國舉辦第31屆時,已發展到54個國家和地區的308名選手。到1995年在加拿大舉辦第36屆時,又增加到73個國家和地區,400多名選手。

IMO的精神就是奧林匹克精神:"重要的不在于取勝,而在于參加。"據此,自1983年第24屆以來,雖然每一個代表隊(6個人為組員)都計算自己的總分,且知道按總分的順序排在多少名,但組織委員會不向團體優勝者頒獎,因為IMO隻是個人的競賽,不是團體的競賽。這使得國際數學奧林匹克一直在友好交流的氛圍中舉行。

我國參加數學競賽

1981年第22屆,美國是IMO的東道主。美國數學奧林匹克委員會主席格雷策發信邀請我國參加,中國數學會復信同意參加,後因故未能成行,隻派了當時在美的訪問學者作為觀察員參加了。

到了1984年,在寧波召開的中國數學會首次普及工作會議上,確定1985年派兩名選手參加第26屆IMO,以了解情況、取得經驗。由于選拔時間倉促,隻指派了北京、上海各1名優秀學生參加。這兩人由數學教育專家單墫老師經過一個月的倉促培訓後,就去參加比賽,結果有1人得三等獎,兩人平均成績與以色列並列第17位,兩人總分則排在第32位。1986年起,每年我國均派6名選手參賽。

我國選手的輝煌成績,極大地激發了千百萬中學生學習科學文化知識的熱情,也極大地增強了中國人的民族自豪感。

舉行意義

在"普及的基礎上不斷提高"的方針指引下,全國數學競賽活動方興未艾,特別是連續幾年我國選手在國際數學奧林匹克中取得了可喜的成績,使廣大中國小師生和數學工作者為之振奮,熱忱不斷高漲,數學競賽活動進入一個新的階段,為了使全國數學競賽活動持久、健康、逐步深入地開展,應廣大中學師生和各級數學奧林匹克教練員的要求,特製定《數學競賽大綱》以適應當前情勢的需要。

本大綱是在國家教委製定的"全日製中學數學教學大綱"的精神和基礎上製定的。《教學大綱》在教學目的一欄中指出:"要培養學生對數學的興趣,激勵學生為實現四個現代化學好數學的積極性"。具體作法是:"對學有餘力的學生,要通過課外活動或開設選修課等多種方式,充分發展他們的數學才能,要重視能力的培養,著重培養學生的運算能力、邏輯思維能力和空間想象能力,要使學生逐步學會分析、綜合、歸納、演繹、概括、抽象、類比等重要的思想方法。同時,要重視培養學生的獨立思考和自學的能力"。

《教學大綱》中所列出的內容,是教學的要求,也是競賽的最低要求。在競賽中對同樣的知識內容的理解程度與靈活運用能力,特別是方法與技巧掌握的熟練程度,有更高的要求。而"課堂教學為主,課外活動為輔"是必須遵循的原則。因此,本大綱所列的課外講授的內容必須充分考慮學生的實際情況,分階段、分層次讓學生逐步地去掌握,並且要貫徹"少而精"的原則,這樣才能加強基礎,不斷提高。

聯賽

全國高中數學聯賽

數學競賽

數學競賽

競賽概況

自2010年起,全國高中數學聯賽試題新規則如下:

聯賽分為一試、加試(即俗稱的"二試")。各個省份自己組織的"初賽"、"初試"、"復賽"等等,都不是正式的全國聯賽名稱及程式。

一試和加試均在每年10月中旬的第一個周日舉行。

一試

考試時間為上午8:00-9:20,共80分鍾。試題分填空題和解答題兩部分,滿分120分。其中填空題8道,每題8分;解答題3道,分別為16分、20分、20分。

(2009年的舊規則和2008年之前的舊規則略去。)

加試(二試)

考試時間為9:40-12:10,共150分鍾。試題為四道解答題,前兩道每題40分,後兩道每題50分,滿分180分。試題內容涵蓋平面幾何、代數、數論、組合數學等。

(2009年的舊規則和2008年之前的舊規則略去。)

依據考試結果評選出各省級賽區級一、二、三等獎。 其中一等獎由各省負責閱卷評分,然後將一等獎的考卷寄送到主辦方(當年的主辦方),由主辦方復評,最終由主管單位(中國科協)負責最終的評定並公布。二、三等獎由各個省自己決定。

各省、市、自治區賽區一等獎排名靠前的同學可參加中國數學奧林匹克(CMO)。

根據最新訊息,2011年數學聯賽的試題規則與2010年相同。

考試範圍

全國高中數學聯賽的一試競賽大綱,完全按照全日製中學《數學教學大綱》中所規定的教學要求和內容,即聯考所規定的知識範圍和方法,在方法的要求上略有提高,其中概率和微積分初步不考。二試在知識方面有所拓展,增加如下知識點的考察。

1.平面幾何

基本要求:掌握國中競賽大綱所確定的所有內容。

補充要求:面積和面積方法。

幾個重要定理:梅涅勞斯定理塞瓦定理托勒密定理西姆松定理

幾個重要的極值:到三角形三頂點距離之和最小的點--費馬點。到三角形三頂點距離的平方和最小的點--重心。三角形內到三邊距離之積最大的點--重心。

幾何不等式。

簡單的等周問題。了解下述定理:

在周長一定的n邊形的集合中,正n邊形的面積最大。

在周長一定的簡單閉曲線的集合中,圓的面積最大。

在面積一定的n邊形的集合中,正n邊形的周長最小。

在面積一定的簡單閉曲線的集合中,圓的周長最小。

幾何中的運動:反射、平移、旋轉。

復數方法、向量方法*。(向量要註意重心,外心,內心,旁心,垂心的套用)

平面凸集凸包及套用。

2.代數

在一試大綱的基礎上另外要求的內容:

周期函式與周期,帶絕對值的函式的圖像。

三倍角公式,三角形的一些簡單的恆等式,三角不等式。

第二數學歸納法

遞歸,一階、二階遞歸,特征方程法。

函式迭代,求n次迭代*,簡單的函式方程*。

n個變元的平均不等式,柯西不等式,排序不等式及套用。

復數的指數形式,歐拉公式,棣美弗定理,單位根,單位根的套用。

圓排列,有重復的排列與組合。簡單的組合恆等式。

一元n次方程(多項式)根的個數,根與系數的關系,實系數方程虛根成對定理。

簡單的初等數論問題,除國中大綱中斯包括的內容外,還應包括無窮遞降法,同餘,歐幾裏得除法,非負最小完全剩餘類,高斯函式[x],費馬小定理,歐拉函式*,孫子定理*,格點及其性質。

3.立體幾何

多面角,多面角的性質。三面角、直三面角的基本性質。

正多面體,歐拉定理。

體積證法。

截面,會作截面、表面展開圖。

4.平面解析幾何(二次函式為基礎點)

直線的法線式,直線的極坐標方程,直線束及其套用。

二元一次不等式表示的區域。

三角形的面積公式

圓錐曲線的切線和法線。

圓的冪和根軸。

5.其它

抽屜原理

容斥原理。(排列組合及代數均有套用)

極端原理

集合的劃分。

覆蓋。

註:全國高中數學聯賽的二試命題的基本原則是向國際數學奧林匹克靠攏,總的精神是比高中數學大綱的要求略有提高,在知識方面略有擴展,適當增加一些課堂上沒有的內容作為課外活動或奧校的講授內容。

對教師和教練員的要求是逐步地掌握以上所列內容,並根據學生的具體情況適當地講授。

有*號的內容二試中暫不考,但在冬令營中可能考

競賽大綱

中國數學會普及工作委員會製定

(2006年8月)

總則

從1981年中國數學會普及工作委員會舉辦全國高中數學聯賽以來,在"普及的基礎上不斷提高"的方針指導下,全國數學競賽活動方興未艾,每年一次的數學競賽吸引了上百萬學生參加。1985年我國步入國際數學奧林匹克殿堂,加強了數學課外教育的國際交流,20年來我國已躋身于IMO強國之列。數學競賽活動對于開發學生智力、開拓視野、促進教學改革、提高教學水準、發現和培養數學人才都有著積極的作用。這項活動也激勵著廣大青少年學習數學的興趣,吸引他們去進行積極的探索,不斷培養和提高他們的創造性思維能力。數學競賽的教育功能顯示出這項活動已成為中學數學教育的一個重要組成部分。

為了使全國數學競賽活動持久、健康、逐步深入地開展,中國數學會普及工作委員會于1994年製定了《高中數學競賽大綱》,這份大綱的製定對高中數學競賽活動的開展起到了很好的指導性作用,我國高中數學競賽活動日趨規範化和正規化。

近年來,新的教學大綱的實施在一定程度上改變了我國中學數學課程的體系、內容和要求。同時,隨著國內外數學競賽活動的發展,對競賽活動所涉及的知識、思想和方法等方面也有了一些新的要求,原來的《高中數學競賽大綱》已經不能適應新情勢的發展和要求。經過廣泛征求意見和多次討論, 對《高中數學競賽大綱》進行了修訂。

本大綱是在《全日製普通高級中學數學教學大綱》的精神和基礎上製定的。《全日製普通高級中學數學教學大綱》指出:"要促進每一個學生的發展,既要為所有的學生打好共同基礎,也要註意發展學生的個性和特長……在課內外教學中宜從學生的實際出發,兼顧學習有困難和學有餘力的學生,通過多種途徑和方法,滿足他們的學習需求,發展他們的數學才能 。"

學生的數學學習活動應當是一個生動活潑、富有個性的過程,不應隻限于接受、記憶、模仿和練習,還應倡導閱讀自學、自主探索、動手實踐、合作交流等學習數學的方式,這些方式有助于發揮學生學習的主動性。教師要根據學生的不同基礎、不同水準、不同興趣和發展方向給予具體的指導。教師應引導學生主動地從事數學活動,從而使學生形成自己對數學知識的理解和有效的學習策略。教師應激發學生的學習積極性,向學生提供充分從事數學活動的機會,幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能、數學的思想和方法,獲得廣泛的數學活動經驗。對于學有餘力並對數學有濃厚興趣的學生,教師要為他們設定一些選學內容,提供足夠的材料,指導他們閱讀,發展他們的數學才能。

教育部2000年《全日製普通高級中學數學教學大綱》中所列出的內容,是教學的要求,也是競賽的最低要求。在競賽中對同樣的知識內容,在理解程度、靈活運用能力以及方法與技巧掌握的熟練程度等方面有更高的要求。"課堂教學為主,課外活動為輔"是必須遵循的原則。因此,本大綱所列的課外講授內容必須充分考慮學生的實際情況,使不同程度的學生在數學上得到相應的發展,並且要貫徹"少而精"的原則。

一試

全國高中數學聯賽(一試)所涉及的知識範圍不超出教育部2000年《全日製普通高級中學數學教學大綱》。

二試

全國高中數學聯賽(加試)在知識方面有所擴展,適當增加一些教學大綱之外的內容,所增加內容是:

二試範圍:平面幾何

三角形旁心、費馬點、歐拉線;

幾何不等式;

幾何極值問題;

幾何中的變換:對稱、平移、旋轉;

圓的冪和根軸:

面積方法,復數方法,向量方法,解析幾何方法。

二試範圍:代數

周期函式,帶絕對值的函式;

三角公式,三角恆等式,三角方程,三角不等式,反三角函式;

遞歸,遞歸數列及其性質,一階、二階線性常系數遞歸數列的通項公式;

第二數學歸納法;

平均值不等式,柯西不等式,排序不等式,切比雪夫不等式,一元凸函式及其套用;

復數及其指數形式、三角形式,歐拉公式,棣莫弗定理,單位根;

多項式的除法定理、因式分解定理,多項式的相等,整系數多項式的有理根*,多項式的插值公式*;

n次多項式根的個數,根與系數的關系,實系數多項式虛根成對定理;

函式迭代,求n次迭代*,簡單的函式方程*。

二試範圍:初等數論

同餘,歐幾裏得除法,裴蜀定理,完全剩餘系,不定方程和方程組,高斯函式[x],費馬小定理,格點及其性質,無窮遞降法*,歐拉定理*,孫子定理*。

二試範圍:組合問題

圓排列,有重復元素的排列與組合,組合恆等式;

組合計數,組合幾何;

抽屜原理;

容斥原理;

極端原理;

圖論問題;

集合的劃分;

覆蓋;

平面凸集、凸包及套用*。

(有*號的內容加試中暫不考,但在冬令營中可能考。)

註:上述大綱在2006年第十四次普及工作會上討論通過

我國情況

中國數學奧林匹克概述

簡介

中國數學奧林匹克(全國中學生數學冬令營)一般于每年元月舉行。成績最好的約30名選手以及中國女子數學奧林匹克中國西部數學奧林匹克的前兩名組成參加當年IMO的中國國家集訓隊。3月中旬至4月初,進行參加IMO的中國代表隊的選拔工作。每年7月份參加IMO。全國中學生數學冬令營是在全國高中數學聯賽的基礎上進行的一次較高層次的數學競賽。1985年,由北京大學、南開大學、復旦大學和中國科技大學四所大學倡議,中國數學會決定,自1986年起每年一月份舉行全國中學生數學冬令營,後又改名為中國數學奧林匹克(Chinese Mathematical Olympiad,簡稱CMO)。冬令營邀請各省、自治區、直轄市全國高中數學聯賽中的優勝者,以及香港、澳門、俄羅斯、新加坡等代表隊參加,人數200人左右,分配原則是每省市區至少三人,然後設立分數線擇優選取。冬令營為期5天,第一天為開幕式,第二、第三天考試,第四天學術報告或參觀遊覽,第五天閉幕式,宣布考試成績和頒獎。

形式

CMO考試完全模擬IMO進行,每天3道題,限四個半小時完成。每題21分(為IMO試題的3倍,為符合中國人的認知習慣),6個題滿分為126分。題目難度較國際數學奧林匹克為高,技術性極強。頒獎與IMO類似,設立一、二、三等獎,分數最高的約前30名選手將組成參加當年國際數學奧林匹克(International Mathematical Olympiad,簡稱IMO)的中國國家集訓隊。

從1990年開始,冬令營設立了陳省身杯團體賽。從1991年起,全國中學生數學冬令營被正式命名為中國數學奧林匹克(Chinese Mathematical Olympiad,簡稱CMO),它成為中國中學生最高級別、最具規模、最有影響的數學競賽。

女子奧林匹克

簡介

中國女子數學奧林匹克(Chinese Girls' Mathematical Olympiad,縮寫CGMO),是特別為女學生而設的數學競賽。設立目的在鼓勵女學生學習數學和參與競賽,培養學習數學興趣並增強信心。從2002年起,每年8月舉辦。參賽隊伍為中國各省重點中學代表隊,和香港、澳門、菲律賓、俄羅斯、美國等隊。

形式

比賽設兩卷,每卷四題,分兩天作賽。全卷滿分為120分。按參賽者成績設金、銀、銅牌。金牌前兩名將入選國際數學奧林匹克中國國家集訓隊,參加IMO國家隊的選拔。迄今為止,有兩名女同學(陳卓、張敏)通過該競賽入選國際數學奧林匹克,並奪得金牌。

此外,又設有健美操團體比賽。參賽者會接受健美操訓練,再進行比賽。

人數

通常每隊至多有四名參賽選手,兩名領隊,領隊中至少有一名女教師。

西部奧林匹克

簡介

中國西部數學奧林匹克(Chinese Western Mathematical Olympiad,縮寫為CWMO),是為位于中國西部省份(包括江西)的中學生舉辦的數學競賽,由中國數學奧林匹克委員會舉辦,一般定于每年11月份舉行。目的是為了鼓勵西部地區中學生學習數學的興趣。自從2001年舉辦第一屆競賽來,迄今為止,該競賽已舉辦過九屆,分別在西安、蘭州、烏魯木齊、銀川成都鷹潭南寧、貴陽、昆明舉辦。

比賽形式

競賽分兩天,于8:00-12:00舉行,每天四道題,每道題15分,滿分120分。根據成績分成一、二、三等獎,每屆全體考生的前兩名將入選次年的國際數學奧林匹克中國國家集訓隊,參加IMO(國際數學奧林匹克)國家隊的選拔。2009年第51屆國際數學奧林匹克金牌選手黃驕陽就是通過中國西部數學奧林匹克的選拔進入國家集訓隊的。

東南地區奧賽

簡介

中國東南地區數學奧林匹克,簡稱東南數奧,是中國東南部福建浙江江西合辦的數學競賽,參賽者為高一學生。參賽隊伍主要是來自閩浙贛三省中學的代表隊,也有上海廣東、香港等地的代表隊。每隊由4名高一學生組成。

比賽起因

舉辦比賽的起因,在于直到2003年這三省也沒有學生進國際數學奧林匹克的中國代表隊,為了促進三地數學奧林匹克的交流,培養學生進入國家隊,三省重點中學合作,從2004年起舉辦比賽,輪流由三省數學學會和中學主辦。至今為止,中國東南地區數學奧林匹克已經舉辦過七屆競賽。

比賽形式

比賽分兩日進行,每日在4小時內解答4道題,都是證明題。試題難度與全國高中數學聯賽相當。

主辦學校

2004年:浙江溫州中學

2005年:福建福州一中

2006年:江西南昌二中

2007年:浙江鎮海中學

2008年:福建龍岩一中

2009年:江西師大附中

2010年:台灣彰化鹿港高中

國際奧數

簡介

國際數學奧林匹克(International Mathematical Olympiad,簡稱IMO)是世界上規模和影響最大的中學生數學學科競賽活動。由羅馬尼亞羅曼(Roman)教授發起。

歷程

它由羅馬尼亞羅曼(Roman)教授發起,自1959年7月在羅馬尼亞古都布拉索舉行第一屆競賽,當時,參加競賽的學生共有52人,分別來自羅馬尼亞、保加利亞、匈牙利、波蘭、前捷克斯洛伐克、前德意志民主共和國和前蘇聯等7個國家。每個國家有8名隊員,前蘇聯隻派了4名。除1980年由于東道主蒙古經費困難而停賽一年外,每年一屆。

最初幾屆隻有七、八個國家和地區參加。最初的組織工作由幾個參賽國家輪流承擔,到了1980年,國際數學教育委員會專門成立了IMO分會,負責尋求IMO每年的組織者。到1990年我國舉辦第31屆時,已發展到54個國家和地區的308名選手。到1999年在羅馬尼亞舉辦第40屆時,又增加到81個國家和地區,共450名選手。到2010年在哈薩克舉辦第51屆時,又增加到105個國家和1200名選手。

我國第一次派學生參加國際數學奧林匹克是1985年,當時僅派兩名學生,並且成績一般。我國第一次正式派出6人代表隊參加國際數學奧林匹克是1986年。

經過40多年的發展,國際數學奧林匹克的運轉逐步製度化、規範化,有了一整套約定俗成的常規,並為歷屆東道主所遵循。

試題

IMO的試題不局限于中學數學的內容,它包含了所謂微積分學前數學的基本部分,甚至也包含了部分微積分學的內容。隨著年代的推移,試題難度也越來越大。試題的難度不在于解決試題需要許多高深的知識,而在于對數學本質的洞察力、創造力和數學機智。

試題範圍雖然從來沒有正式規定,但主要為數論、組合數學、數列、不等式、函式方程和幾何等。在不少屆的試題中,常出現包含當年年度數學的趣味數論問題,顯示出數學家們的幽默風趣。有些題目給出比恰好推出所需結論的條件寬許多的條件,而有些題目又隻讓你推出很強結論中的一少部分,與通常類型的由恰當條件推出恰當結論的題目相比,這些題目的真正目的在于考你的彈性、技巧性。

有些題目風格迥異,思維方式新穎,隻有運用某一技巧才能解決,對這樣的題目,通常的思維方式也就不可能引導出正確的解題思路。有些題目的解法對我們啓示,決不限于是一種針對具體問題的具體技巧,而是一種精深的數學思維方式。對于歷屆IMO中國隊失利較多的題目(不多于3名中國隊選手完整做出的IMO試題),有老師對其進行了詳細分析和解答,其中組合和數論涉及題目較多。

競賽章程

IMO的運轉方式已經製度化,其競賽章程規定:

(1)一年一度的IMO于7月舉行。東道國由參賽國(或地區)輪流擔任,所需經費由東道國負擔,整個活動由東道國出任主席,由各國領隊組成的主試委員會主持。試題與解答由參賽國提供,每國3至5道題(也可以不提供),東道國不提供試題,而由東道國組成選題委員會,對各國提供的試題進行評議與初選,主要考慮試題是否與以往的試題重復,並把試題按代數、數論、幾何、組合數學、組合幾何等分類,確定試題難度(A、B、C三級),選擇30題左右,如果這些題有新解法的話,還要求提供原解法以外的解法,譯成英文供主試委員選用。

(2)每個參賽團組織一個參賽隊,成員不超過8人,其中隊員不超過6人(是中學或同等級學校學生),正、副領隊各1人。

(3)IMO的官方用語為英語、德語、俄語、法語,而參賽國大約需要26種文字,屆時由各領隊把試卷譯為本國語言,並經協調委員會認可。試卷先由各國的正、副領隊評判,再與協調委員會協商(每個協調員負責一個試題的評分),如有分歧,由主試委員會仲裁,協商工作是在信任與友好的氣氛中進行的。

(4)IMO的獲獎人數佔參賽人數的一半,在評獎時,並不排出個人第一、第二的順序,而是根據分數段評出一、二、三等獎得主,其比例一般為1:2:3。此外,主試委員會還可因在某個試題上做出了非常漂亮(指思路簡潔巧妙,有獨創性)或在數學上有意義的解答的學生給予特別獎,獲得特別獎的人數甚少。與此同時,為避免再次出現1980年那樣的中斷,IMO設立一個專門的委員會(有的譯為場所委員會)負責確定各屆的東道主。按IMO的規定,每一屆的東道主必須向上一屆的所有參賽國發出邀請,而新參加的國家則應當向東道主表明參加的意願,再由東道主發出邀請。

1988年第29屆,根據香港的建議,IMO首次設立了榮譽獎,獎給那些雖然未得金、銀、銅牌,但至少有一道題得滿分的選手。這一措施,大大調動了各參賽國及參賽選手的積極性。

考試

一般每屆競賽從各參賽國提供的預選題中選用六道題。考試分兩天進行,每天四個半小時做三道題,每題7分,滿分42分。參賽者獨立做題,隻對個人評分和獎勵,沒有團體獎。據此,自1983年第24屆以來,雖然每一個代表隊(6個人為組員)習慣上計各隊總分,排列各參賽國名次(因各隊參賽人數一樣多)。 歷屆情況

歷屆IMO的主辦國,總分冠軍及參賽國(地區)數為:

年份

屆次

東道主

總分冠軍

參賽國家、地區數

1959

1

羅馬尼亞

羅馬尼亞

7

1960

2

羅馬尼亞

前捷克斯洛伐克

5

1961

3

匈牙利

匈牙利

6

1962

4

前捷克斯洛伐克

匈牙利

7

1963

5

波蘭

前蘇聯

8

1964

6

前蘇聯

前蘇聯

9

1965

7

前東德

前蘇聯

8

1966

8

保加利亞

前蘇聯

9

1967

9

前南斯拉夫

前蘇聯

13

1968

10

前蘇聯

前東德

12

1969

11

羅馬尼亞

匈牙利

14

1970

12

匈牙利

匈牙利

14

1971

13

前捷克斯洛伐克

匈牙利

15

1972

14

波蘭

前蘇聯

14

1973

15

前蘇聯

前蘇聯

16

1974

16

前東德

前蘇聯

18

1975

17

保加利亞

匈牙利

17

1976

18

澳大利亞

前蘇聯

19

1977

19

南斯拉夫

美國

21

1978

20

羅馬尼亞

羅馬尼亞

17

1979

21

美國

前蘇聯

23

1981

22

美國

美國

27

1982

23

匈牙利

前西德

30

1983

24

法國

前西德

32

1984

25

前捷克斯洛伐克

前蘇聯

34

1985

26

芬蘭

羅馬尼亞

42

1986

27

波蘭

美國、前蘇聯

37

1987

28

古巴

羅馬尼亞

42

1988

29

澳大利亞

前蘇聯

49

1989

30

前西德

中國

50

1990

31

中國

中國

54

1991

32

瑞典

前蘇聯

56

1992

33

俄羅斯

中國

62

1993

34

土耳其

中國

65

1994

35

中國香港

美國

69

1995

36

加拿大

中國

73

1996

37

印度

羅馬尼亞

75

1997

38

阿根廷

中國

82

1998

39

中華台北

伊朗

84

1999

40

羅馬尼亞

中國、俄羅斯

81

2000

41

韓國

中國

82

2001

42

美國

中國

83

2002

43

英國

中國

84

2003

44

日本

保加利亞

82

2004

45

希臘

中國

85

2005

46

墨西哥

中國

98

2006

47

斯洛維尼亞

中國

104

2007

48

越南

俄羅斯

93

2008

49

西班牙

中國

103

2009

50

德國

中國

104

2010

51

哈薩克

中國

105

意義

正如專家們指出:IMO的重大意義之一是促進創造性的思維訓練,對于科學技術迅速發展的今天,這種訓練尤為重要。數學不僅要教會學生運算技巧,更重要的是培養學生有嚴密的思維邏輯,有靈活的分析和解決問題的方法。

國際數學奧林匹克競賽對于促進中學數學教育的改革,激發青少年對數學的學習興趣,選拔優秀的數學人才等都起到了越來越大的作用,受到人們的普遍重視。數學奧林匹克傳統將永遠發揚光大。

國外競賽

美國

美國數學奧林匹克是數學能力和智慧的角逐,其難度和靈活度都是較高的,因此在國際上也是有相當影響的數學競賽。美國數學奧林匹克在美國的地位等同于我國的中國數學奧林匹克(CMO)。

美國數學奧林匹克在每年的4月底或5月初舉行,每次競賽有5或6道試題(1972年第1屆至1995年第24屆每次5道試題;1996年第25屆起為每屆6道試題),前24屆要求考生在3.5個小時內完成,從1996年起改為分兩天進行,每天3道題,4.5個小時完成。美國每年由USAMO的優勝者進行數學奧林匹克訓練,最後選拔6名學生作為美國國家隊隊員,參加國際數學奧林匹克(IMO)。

學生需要通過美國數學競賽(AMC)和美國數學邀請賽(AIME)的兩層選拔,最終可以進入美國數學奧林匹克(USAMO)的角逐。

俄羅斯

俄羅斯數學奧林匹克是俄羅斯國內規模最大,水準最高的數學競賽活動。俄羅斯數學奧林匹克的前身是全蘇數學奧林匹克和全俄數學奧林匹克。

蘇聯是開展數學競賽活動比較早的國家之一。1934年列寧格勒大學主辦了列寧格勒中學生數學奧林匹克,首次將數學競賽與奧林匹克體育競賽相聯系。稱數學競賽為數學奧林匹克,形象地揭示了數學競賽是參賽選手間智力的角逐。1935年莫斯科大學和基輔大學又分別主辦了莫斯科數學奧林匹克和基輔數學奧林匹克。以後每年舉行(除了在1942年至1944年中斷過3年外),1961年第一屆全俄數學奧林匹克(All Russian Mathematical Olympiad)開始舉行。這是人類歷史上第一次把數學競賽冠于奧林匹克。1972年賽事改稱全蘇數學奧林匹克(All Soviet Union Mathematical Olympiad),屆數重新算起。蘇聯解體後的1992年賽事改稱獨聯體數學奧林匹克(the Commonwealth of Independent States Mathematical Olympiad),屆數再次重新算起。這也是最後一屆獨聯體數學奧林匹克。1993年俄羅斯數學奧林匹克(Russian Mathematical Olympiad)開始舉行,屆數從第19屆計起。

俄羅斯數學奧林匹克的特點是分年級進行,每個年級(七至十一年級)都是要求在4小時內解答5道試題。高年級的優勝者可被免試推薦進入大學。現在,俄羅斯的數學短期活動已發展到包括國小生、中學生和大學生在內的各級各類數學奧林匹克,其中尤以中學數學短期活動開展得最為廣泛和普遍。今天,俄羅斯是繼匈牙利之後的又一富有實力的國家,在已舉辦的41屆國際數學奧林匹克中總分15次居第一,名列各國之首。

數學競賽

中國數學競賽一覽

中國的主要數學競賽及主辦方如下:

"全國國小數學奧林匹克"(中國數學會普及工作委員會)

全國中國小"希望杯"數學邀請賽(中國科學技術協會普及部 ,中國優選法統籌法與經濟數學研究會,華羅庚實驗室 , 《數理天地》雜志社,《中青線上》網站)

國小"我愛數學"夏令營--"全國國小數學奧林匹克"的總決賽(中國數學會普及工作委員會)

全國"華羅庚金杯"少年數學邀請賽--國小(中國少年兒童新聞出版總社、中國優選法統籌法與經濟數學研究會、中央電視台青少中心、華羅庚實驗室、中華國際科學交流基金會等)

"全國國中數學聯賽"(中國數學會普及工作委員會)濟南等地區已經取消競賽

"全國國中數學競賽"(中國教育學會中學數學教學專業委員會)

國中"我愛數學"夏令營--"全國國中數學聯賽"的總決賽(中國數學會普及工作委員會)

全國"華羅庚金杯"少年數學邀請賽--國中(中國少年兒童新聞出版總社、中國優選法統籌法與經濟數學研究會、中央電視台青少年中心、華羅庚實驗室、中華國際科學交流基金會等)

"五羊杯"國中數學競賽(《中學數學研究》雜志社)

"全國高中數學聯賽"(中國數學會普及工作委員會)

中國數學奧林匹克--冬令營(中國數學會普及工作委員會、中國數學會奧林匹克委員會)

中國女子數學奧林匹克(中國數學會奧林匹克委員會)

中國西部數學奧林匹克(中國數學會奧林匹克委員會)

中國東南地區數學奧林匹克(中國數學會奧林匹克委員會、閩浙贛數學奧林匹克協作體)

北方數學奧林匹克邀請賽(中國數學會奧林匹克委員會)

全國大學生數學競賽(中國數學會普及工作委員會)

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