數學模型

數學模型

數學模型是運用數理邏輯方法和數學語言建構的科學或工程模型。

數學模型的歷史可以追溯到人類開始使用數位的時代。隨著人類使用數位,就不斷地建立各種數學模型,以解決各種各樣的實際問題。對于廣大的科學技術工作者對大學生的綜合貭素測評,對教師的工作業績的評定以及諸如訪友,採購等日常活動,都可以建立一個數學模型,確立一個最佳方案。建立數學模型是溝通擺在面前的實際問題與數學工具之間聯系的一座必不可少的橋梁。

  • 中文名稱
    數學模型
  • 外文名稱
    Mathematical model
  • 分類
    術語
  • 屬性
    科學
  • 釋義
    數學模型是關于部分現實世界和為一種特殊目的而作的一個抽象的、簡化的結構
  • 簡介
    數學模型(Mathematical Model)是近些年發展起來的新學科,是數學理論與實際問題相結合的一門科學。

定義

數學模型 數學模型

現在數學模型還沒有一個統一的準確的定義,因為站在不同的角度可以有不同的定義。不過我們可以給出如下定義。數學模型是關于部分現實世界和為一種特殊目的而作的一個抽象的、簡化的結構。具體來說,數學模型就是為了某種目的,用字母、數位及其它數學符號建立起來的等式或不等式以及圖表、圖象、框圖等描述客觀事物的特征及其內在聯系的數學結構表達式。

數學模型

數學模型(Mathematical Model)是近些年發展起來的新學科,是數學理論與實際問題相結合的一門科學。它將現實問題歸結為相應的數學問題,並在此基礎上利用數學的概念、方法和理論進行深入的分析和研究,從而從定性或定量的角度來刻畫實際問題,並為解決現實問題提供精確的資料或可靠的指導。

建模要求

真實可靠

1)真實的、系統的、完整的,形象的反映客觀現象;

2)必須具有代表性;

3)具有外推性,即能得到原型客體的信息,在模型的研究實驗時,能得到關于原型客體的原因;

4)必須反映完成基本任務所達到的各種業績,而且要與實際情況相符合。

簡明實用

在建模過程中,要把本質的東西及其關系反映進去,把非本質的、對反映客觀真實程度影響不大的東西去掉,使模型在保證一定精確度的條件下,盡可能的簡單和可操作,資料易于採集。

適應變化

隨著有關條件的變化和們認識的發展,通過相關變數及參數的調整,能很好的適應新情況。

模型種類

用字母、數位和其他數學符號構成的等式或不等式,或用圖表、圖像、框圖、數理邏輯等來描述系統的特征及其內部聯系或與外界聯系的模型。它是真實系統的一種抽象。數學模型是研究和掌握系統運動規律的有力工具,它是分析、設計、預報或預測、控製實際系統的基礎。數學模型的種類很多,而且有多種不同的分類方法。

數學模型數學模型

靜態和動態模型

靜態模型是指要描述的系統各量之間的關系是不隨時間的變化而變化的,一般都用代數方程來表達。動態模型是指描述系統各量之間隨時間變化而變化的規律的數學表達式,一般用微分方程差分方程來表示。經典控製理論中常用的系統的傳遞函式也是動態模型,因為它是從描述系統的微分方程變換而來的(見拉普拉斯變換)。

分布參數和集中參數模型

分布參數模型是用各類偏微分方程描述系統的動態特徵,而集中參數模型是用線性或非線性常微分方程來描述系統的動態特徵。在許多情況下,分布參數模型借助于空間離散化的方法,可簡化為復雜程度較低的集中參數模型。

連續時間和離散時間模型

模型中的時間變數是在一定區間內變化的模型稱為連續時間模型,上述各類用微分方程描述的模型都是連續時間模型。在處理集中參數模型時,也可以將時間變數離散化,所獲得的模型稱為離散時間模型。離散時間模型是用差分方程描述的。

隨機性和確定性模型

隨機性模型中變數之間關系是以統計值或概率分布的形式給出的,而在確定性模型中變數間的關系是確定的。

參數與非參數模型

用代數方程、微分方程、微分方程組以及傳遞函式等描述的模型都是參數模型。建立參數模型就在于確定已知模型結構中的各個參數。通過理論分析總是得出參數模型。非參數模型是直接或間接地從實際系統的實驗分析中得到的回響,例如通過實驗記錄到的系統脈沖回響或階躍回響就是非參數模型。運用各種系統辨識的方法,可由非參數模型得到參數模型。如果實驗前可以決定系統的結構,則通過實驗辨識可以直接得到參數模型。

線性和非線性模型

線性模型中各量之間的關系是線性的,可以套用疊加原理,即幾個不同的輸入量同時作用于系統的回響,等于幾個輸入量單獨作用的回響之和。線性模型簡單,套用廣泛。非線性模型中各量之間的關系不是線性的,不滿足疊加原理。在允許的情況下,非線性模型往往可以線性化為線性模型,方法是把非線性模型在工作點鄰域內展成泰勒級數,保留一階項,略去高階項,就可得到近似的線性模型。

方法步驟

模型準備

首先要了解問題的實際背景,明確建模目的,蒐集必需的各種信息建模步驟示意圖

,盡量弄清對象的特征。

模型假設

根據對象的特征和建模目的,對問題進行必要的、合理的簡化,用精確的語言作出假設,是建模至關重要的一步。如果對問題的所有因素一概考慮,無疑是一種有勇氣但方法欠佳的行為,所以高超的建模者能充分發揮想象力、洞察力和判斷力,善于辨別主次,而且為了使處理方法簡單,應盡量使問題線性化、均勻化。

模型構成

根據所作的假設分析對象的因果關系,利用對象的內在規律和適當的數學工具,構造各個量間的等式關系或其它數學結構。這時,我們便會進入一個廣闊的套用數學天地,這裏在高數、概率老人的膝下,有許多可愛的孩子們,他們是圖論、排隊論、線性規劃、對策論等許多許多,真是泱泱大國,別有洞天。不過我們應當牢記,建立數學模型是為了讓更多的人明了並能加以套用,因此工具愈簡單愈有價值。

模型求解

可以採用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運算、數值運算等各種傳統的和近代的數學方法,特別是電腦技術。一道實際問題的解決往往需要紛繁的計算,許多時候還得將系統運行情況用電腦模擬出來,因此編程和熟悉數學軟體包能力便舉足輕重。

模型分析

對模型解答進行數學上的分析。”橫看成嶺側成峰,遠近高低各不同。能否對模型結果作出細致精當的分析,決定了你的模型能否達到更高的檔次。還要記住,不論那種情況都需進行誤差分析,資料穩定性分析。

模型檢驗

把數學上分析的結果翻譯回到現實問題,並用實際的現象、資料與之比較,檢驗模型的合理性和適用性。、

模型套用

取決于問題的性質和建模的目的。

模型分類

按套用領域分類:

數學模型數學模型

生物學數學模型

醫學數學模型

地質學數學模型

氣象學數學模型

經濟學數學模型

社會學數學模型

物理學數學模型

化學數學模型

天文學數學模型

工程學數學模型

管理學數學模型

按是否考慮隨機因素分類:

確定性模型

隨機性模型

按是否考慮模型的變化分類:

靜態模型

動態模型

按套用離散方法或連續方法分類:

離散模型

連續模型

按建立模型的數學方法分類:

幾何模型

微分方程模型

圖論模型

規劃論模型

馬氏鏈模型

按人們對事物發展過程的了解程度分類:

白箱模型 :

指那些內部規律比較清楚的模型。如力學、熱學、電學以及相關的工程技術問題。

灰箱模型:

指那些內部規律尚不十厘清楚,在建立和改善模型方面都還不同程度地有許多工作要做的問題。如氣象學、生態學經濟學等領域的模型。

黑箱模型:

指一些其內部規律還很少為人們所知的現象。如生命科學、社會科學等方面的問題。但由于因素眾多、關系復雜,也可簡化為灰箱模型來研究。

目錄

第1章 建立數學模型

第2章 初等模型

第3章 簡單的最佳化模型

第4章 數學規劃模型

第5章 微分方程模型

第6章 代數方程與差分方程模型

第7章 穩定性模型

第8章 離散模型

第9章 概率模型

第10章 統計回歸模型

第11章 博弈模型

第12章 馬氏鏈模型

第13章 動態最佳化模型

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