拓撲關系

拓撲關系

拓撲關系( topological relation),指滿足拓撲幾何學原理的各空間資料間的相互關系。即用結點、弧段和多邊形所表示的實體之間的鄰接、關聯、包含和連通關系。

  • 中文名稱
    拓撲關系
  • 外文名稱
    topological relation
  • 滿    足
    拓撲幾何學原理
  • 定    義
    空間資料間的相互關系

簡介

指滿足拓撲幾何學原理的各空間資料間的相互關系。即用結點、弧段、多邊形和島所表示的實體之間的鄰接、關聯、包含和連通關系。如:點與點的鄰接關系、點與面的包含關系、線與面的相離關系、面與面的重合關系等。

拓撲關系(拓撲鄰接、拓撲關聯、拓撲包含)拓撲關系(拓撲鄰接、拓撲關聯、拓撲包含)

定義

拓撲關系是指圖形元素之間相互空間上的連線、鄰接關系並不考慮具體位置.這種拓撲關系是由數位化的點、線、面資料形成的以使用者的查詢或套用分析要求進行圖形選取、疊合、合並等操作。建立空間要素之間的拓撲關系屬于地圖整飾。

類別

非拓撲屬性

兩點之間的距離; 一個點指向另一個點的方向;弧段的長度;一個區域的周長;一個區域的面積。

拓撲屬性(拓撲關系)

一個點在一個弧段的端點; 一個簡單弧段不會自相交; 一個點在一個區域的邊界上;一個點在一個區域的內部; 一個點在一個區域的外部; 一個點在一個環的內部; 一個簡單面是一個連續的面 。

拓撲資料結構

拓撲關系

1、拓撲結構的基本元素

①拓撲線段(arc)

該線段中間不與其它線段存在聯系。

②結點(node)

拓撲線段的兩個端點,分別為首結點、尾結點

③多邊形(poly)

由數條拓撲線段連線而成

拓撲資料舉例:

拓撲資料舉例拓撲資料舉例 拓撲關系

2、拓撲關系表的建立:

拓撲關系

結點編碼:①②③④⑤⑥

線段編碼:1 2 3 4 5 6 7 8 9

多邊形編碼:(1)(2)(3)(4)(5)

由來

哥尼斯堡七橋問題折疊

在數學上,關于哥尼斯堡七橋問題、多面體歐拉定理、四色問題等都是拓撲學發展史的重要問題。哥尼斯堡七橋問題哥尼斯堡(今俄羅斯加裏寧格勒)是東普魯士的首都,普萊格爾河橫貫其中。十八世紀在這條河上建有七座橋,將河中間的兩個島和河岸聯結起來。人們閒暇時經常在這上邊散步,一天有人提出:能不能每座橋都隻走一遍,最後又回到原來的位置。這個看起來很簡單又很有趣的問題吸引了大家,很多人在嘗試各種各樣的走法,但誰也沒有做到。看來要得到一個明確、理想的答案還不那麽容易。

1736年,有人帶著這個問題找到了當時的大數學家歐拉,歐拉經過一番思考,很快就用一種獨特的方法給出了解答。歐拉把這個問題首先簡化,他把兩座小島和河的兩岸分別看作四個點,而把七座橋看作這四個點之間的連線。那麽這個問題就簡化成,能不能用一筆就把這個圖形畫出來。經過進一步的分析,歐拉得出結論--不可能每座橋都走一遍,最後回到原來的位置。並且給出了所有能夠一筆畫出來的圖形所應具有的條件。這是拓撲學的"先聲"。

多面體的歐拉定理折疊

在拓撲學的發展歷史中,還有一個著名而且重要的關于多面體的定理也和歐拉有關。這個定理內容是:如果一個凸多面體的頂點數是v、棱數是e、面數是f,那麽它們總有這樣的關系:f+v-e=2。

根據多面體的歐拉定理,可以得出這樣一個有趣的事實:隻存在五種正多面體。

它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。

四色猜想折疊

著名的"四色問題"也是與拓撲學發展有關的問題。四色問題又稱四色猜想,是世界近代三大數學難題之一。 四色猜想的提出來自英國。1852年,畢業于倫敦大學的弗南西斯·格思裏來到一家科研單位搞地圖著色工作時,發現了一種有趣的現象:"看來,每幅地圖都可以用四種顏色著色,使得有共同邊界的國家都被著上不同的顏色。"

1872年,英國當時最著名的數學家凱利正式向倫敦數學學會提出了這個問題,于是四色猜想成了世界數學界關註的問題。世界上許多一流的數學家都紛紛參加了四色猜想的大會戰。1878~1880年兩年間,著名律師兼數學家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文,宣布證明了四色定理。但後來數學家赫伍德以自己的精確計算指出肯普的證明是錯誤的。不久,泰勒的證明也被人們否定了。于是,人們開始認識到,這個貌似容易的題目,其實是一個可與費馬猜想相媲美的難題。

進入20世紀以來,科學家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進行。電子電腦問世以後,由于演算速度迅速提高,加之人機對話的出現,大大加快了對四色猜想證明的進程。1976年,美國數學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩台不同的電子電腦上,用了1200個小時,作了100億次判斷,終于完成了四色定理的證明。不過不少數學家並不滿足于電腦取得的成就,他們認為應該有一種簡捷明快的書面證明方法。

上面的幾個例子所講的都是一些和幾何圖形有關的問題,但這些問題又與傳統的幾何學不同,而是一些新的幾何概念。這些就是"拓撲學"的先聲。

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