希爾伯特空間

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希爾伯特空間,n維歐幾裏得空間的推廣,可視為“無限維的歐幾裏得空間”,是泛函分析的重要研究對象之一。爾伯特空間在分析數學的各個領域中有著深厚的根基,也是描述量子物理的基本工具之一。

正文信息

n維歐幾裏得空間的推廣,可視為“無限維的歐幾裏得空間”,是

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內積還有重要的施瓦茲不等式:

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正交與勾股定理 在希爾伯特空間H中,如果xy滿足(x,y)=0,就稱xy正交(或直交),記為xy。當xy時,成立勾股定理:

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。如果xH的子集M中任何元都正交,就稱xM正交,記為xM。與M正交的所有元素的集合記為M寑。

投影定理希爾伯特空間理論中的一個基本定理。設M是希爾伯特空間H的凸閉子集,則對H中每個向量x,必存在M中惟一的y,使得

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。這個性質稱為變分定理。特別,當MH的閉線性子空間時,zx-y必與M正交,即對于閉線性子空間M,分解x=y+z不僅惟一,而且zy。這就是投影定理。其中,y稱為xM中的投影(分量)。因為xM上的投影y是達到極值

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的惟一解,所以這個結果不僅在理論研究中,而且在很多套用性科學,如近似理論(包括有限元方法)、預測理論、最最佳化等多方面均有著廣泛的套用。

正交系 設{ek}是內積空間H中一族彼此不同的向量,如果其中任何兩個向量都正交,即當kj時,(ekej)=0,則稱{ek}是一正交系;如果其中每個向量的範數又都是1,即對一切k,(ek,ek)=1,則稱{ek}是就範正交系。對于希爾伯特空間H的就範正交系{ek},如果包含{ek}的最小閉子空間就是H,就稱{ek}為H的完備就範正交系。設{ek}是就範正交系,則H中任一向量 xek方向的投影,即x在{ek}生成的一維子空間上的投影,就是(x,ek)ek;而x在{ek}生成的閉子空間M上的投影就是

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。顯然有

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,即向量 x在某個子空間M上的分量“長度”永不超過x的長度,它稱為貝塞爾不等式。如果{ek}是完備就範正交系,那麽成立著

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(傅裏葉展式),

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(帕舍伐爾等式)。

傅裏葉展開是古典分析中傅裏葉級數或一般正交級數展開的推廣。

泛函表示定理 希爾伯特空間H 上每個連續線性泛函F,對應于惟一的yH,使F(x)=(x,y),並且

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,這就是裏斯的連續線性泛函表示定理。因此,希爾伯特空間的共軛空間與自身(保持範數不變地)同構(實際上是一種共軛線性同構),即HH。這個結果在希爾伯特空間運算元理論中具有很重要的作用。

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