圓周運動

圓周運動

質點在以某點為圓心半徑為r的圓周上運動,即質點運動時其軌跡是圓周的運動叫“圓周運動”。它是一種最常見的曲線運動。例如電動機轉子、車輪、皮帶輪等都作圓周運動。圓周運動分為,勻速圓周運動和變速圓周運動(如:豎直平面內繩/桿轉動小球、豎直平面內的圓錐擺運動)。在圓周運動中,最常見和最簡單的是勻速圓周運動(因為速度是矢量,所以勻速圓周運動實際上是指勻速率圓周運動)。

  • 中文名稱
    圓周運動
  • 外文名稱
    Circular motion
  • 所屬學科
    物理學
  • 受力情況
    向心力

概述

在物理學中,圓周運動(circular motion)是在圓圈上轉圈:一個圓形路徑或軌跡。當考慮一件物體的圓周運動時,物體的體積大小會被忽略,並看成一質點(在空氣動力學上除外)。

圓周運動圓周運動

圓周運動的例子有:一個人造衛星跟隨其軌跡轉動、用繩子連線著一塊石頭並打圈揮動、一架賽車在賽道上轉彎、一粒電子垂直地進入一個平均磁場、一個齒輪在機器中的轉動(其表面和內部任一點)、皮帶傳動裝置、火車的車輪及拐彎處軌道。

圓周運動以向心力(centripetal force)提供運動物體所需的加速度。這向心力把運動物體拉向圓形軌跡的中心點。若果沒有向心力,物體會跟隨牛頓第一定律慣性地進行直線運動。即使物體速率不變,圓周運動是變加速運動,物體的速度方向在不停地改變。即勻速圓周運動中,線速度改變(方向),而角速度不變。

生活中

火車過彎道:實際做圓周運動,設計成外軌比內軌稍高,具有向心加速度

汽車過拱形橋:也可看作圓周運動,橋對車的支持力為重力,又因為汽車對橋的壓力和橋對汽車的支持力是一對作用力和反作用力,大小相等,所以壓力大小也為支持力。

汽車過凹形橋:也可看作圓周運動,橋對車的支持力為重力,因為汽車對橋的壓力和橋對汽車的支持力是一對作用力和反作用力,所以壓力大小也為支持力。

航天器中的失重現象:有人把航天器失重的原因說成是它離地球太遠,從而擺脫了地球引力,這是錯誤的。正是由于地球引力的存在,才使航天器連同其他的乘員有可能做環繞地球的圓周運動。這裏的分析僅僅針對圓軌道而言。其實任何關閉了發動機,又不受阻力的飛行器的內部,都是一個完全失重的環境。例如向空中任何方向拋出的容器,其中的所有物體都處于失重狀態

遊樂場的摩天輪

離心運動:做圓周運動的物體,由于慣性,總有沿著切線方向飛去的傾向。但他沒有飛去,這是因為向心力在“拉著”它,使它與圓心的距離保持不變。一旦受力突然消失,物體就沿切線方向飛去。除了向心力突然消失這種情況,在合力不足以提供所需的向心力時,物體雖然不會沿切線飛去,也會逐漸遠離圓心,稱為離心運動。

特點

勻速圓周運動的特點:軌跡是圓,角速度,周期,線速度的大小(註:因為線速度是矢量,線速度大小是不變的,而方向時時在變化)和向心加速度的大小不變,且向心加速度方向總是指向圓心。

線速度定義:質點沿圓周運動通過的弧長ΔL與所用的時間Δt的比值叫做線速度,或者角速度與半徑的乘積。

線速度的物理意義:描述質點沿圓周運動的快慢,是矢量

角速度的定義:半徑轉過的弧度(弧度製:360°=2π)與所用時間t的比值。

周期的定義:作勻速圓周運動的物體,轉過一周所用的時間。

轉速的定義:作勻速圓周運動的物體,每秒轉過的弧度。

註意:勻速圓周運動不是勻速運動勻變速運動,而是勻速率變速曲線運動

主要公式

線速度:v=s/t

線速度:

,角速度,

由以上可推導出線速度v=ωr,

求線速度,除了可以用

,也可推導出v=2πr/T(註:T為周期)=ωr=2πrn(註:n代表轉速,n與T可以互相轉換,公式為T=1/n),π代表圓周率

同樣的,求角速度可以用ω=弧度/t =2π/T=v/r=2πn

其中S為弧長,r指半徑,V為線速度,a為加速度,T為周期,ω為角速度(單位:rad/s)。

著名理論

任何物體在作圓周運動時需要一個向心力,因為它在不斷改變速度。對象的速度的速率大小不變,但方向一直在改變。隻有合適大小的向心力才能維持物體在圓軌道上運動。這個加速度(速度是一個矢量,改變方向的同時可以不改變大小)是由向心力提供的,如果不具備這一條件,物體將脫離圓軌道。註意,向心加速度是反映線速度方向改變的快慢。

物體在作圓周運動時速度的方向相切于圓周路徑。勻速圓周運動物體所受合力的方向一直指向圓心,即此來改變速度的方向。

現在,向心力可以使物體不脫離軌道。一個很好的例子是重力。 地面重力給人造衛星必要的力使其在沿軌道運動。

現在回到物理學上來。向心力與物體速度的平方及它的質量和半徑倒數成正比:

F = mv^2/r,F=mω^2r(v是線速度,ω是角速度)

所以如果我們知道了力大小,質量,半徑,我們可以算出對象旋轉速度。 如果我們知道了速度,質量,半徑,我們可以算出力大小。符號記為如下:

F = ma

是的,合外力=質量乘以加速度,所以:

a = v^2/r =(2π)^2r/T^2

質量符號去除—用 F和 ma 取代. 因此求加速度可以不用知道物體的質量

當一質點在一平面做圓周運動時在另一正交平面的射影是做簡諧運動,與彈簧振子的運動形式一樣,加速度在不斷變化中。

如果物體沿半徑是R的圓周作勻速圓周運動,運動一周的時間為T,則線速度的大小等于角速度大小和半徑R的乘積.

v=ωR,使用這一公式時應註意,角度的單位一定要用弧度,隻有角速度的單位是弧度/秒時,上述公式才成立.

勻速運動

物理術語

1定義:質點沿圓周運動,如果在任意相等的時間裏通過的圓弧長度都相等,這種運動就叫做“勻速圓周運動”,亦稱“勻速率圓周運動”因為物體作圓周運動時速率不變,但速度方向隨時發生變化。

2物體作圓周運動的條件:①具有初速度;②受到一個大小不變、方向與物體運動速度方向始終垂直因而是指向圓心的力(向心力)。物體作勻速圓周運動時,速度的大小雖然不變,但速度的方向時刻改變,所以勻速圓周運動是變速運動。又由于作勻速圓周運動時,它的向心加速度的大小不變,但方向時刻改變,故勻速圓周運動是變加速運動。“勻速圓周運動”一詞中的“勻速”僅是速率不變的意思。 做勻速圓周運動的物體仍然具有加速度,而且加速度不斷改變,因為其加速度方向在不斷改變,因為其運動軌跡是圓,所以勻速圓周運動是變加速曲線運動​。勻速圓周運動加速度方向始終指向圓心。做變速圓周運動的物體總能分解出一個指向圓心的加速度,我們將方向時刻指向圓心的加速度稱為向心加速度

勻速相關公式

1、v(線速度)=l/t=2πr/T=ωr=2πrf=2πnr(l代表弧長,t代表時間,r代表半徑,n為頻率,ω為角速度)

2、ω(角速度)=θ/t=2π/T=2πf(θ表示角度或者弧度)

3、T(周期)=2πr/v=2π/ω

4、f(頻率)=1/T

6、Fn(向心力)=mrω^2=mv^2/r=mr4π^2/T^2=mr4π^2f^2

7、an(向心加速度)=rω^2=v^2/r=r4π^2/T^2=r4π^2n^2

8、繩子拉球過頂點時重力充當向心力,即mg=mv^2/r,因此最小速度為v=(gr)^(1/2)

9、Jmax(功最大值)=Fn×π r

桿拉球時,v過頂點的最小速度為0

勻速圓周運動向心力公式的推導

設一質點在A處的運動速度為Va,在運動很短時間⊿t後,到達B點,設此是的速度為Vb

由于受向心力的作用而獲得了一個指向圓心

速度⊿v,在⊿v與Va的共同作用下而運動到B點,達到Vb的速度

則矢量Va 矢量⊿v=矢量Vb,矢量⊿v=矢量Vb-矢量Va

用幾何的方法可以得到Va與Vb的夾角等于OA與OB的夾角,當⊿t非常小時

⊿v/v=s/r(說明:由于質點做勻速圓周運動,所以Va=Vb=v,s表示弧長,r表示半徑)

所以⊿v=sv/r

⊿v/⊿t=s/⊿t * v/r,其中⊿v/⊿t表示向心加速度a,s/⊿t 表示線速度

所以a=v^2/r=rω^2=r4π^2/T^2=r4π^2n^2

F(向心力)=ma=mv^2/r=mrω^2=m4π^2/T^2r

將平面裏的二維勻速圓周運動一維化

建立一個模型:質量為m的小球與一勁度系數為k的彈簧(原長無限短)相連,在平面直角坐標系x-y裏做角速度為ω,半徑為A的勻速圓周運動。勻速圓周運動與簡諧運動的關系

此時F(向心力)=kA=m(4π^2/T^2)r可知T=2π√k/m

在x軸上有 Vx=Vcos(ωt φ)Fx=kx=kAsin(ωt φ)即x=kAsin(ωt φ)

同理,y軸上有Vy=Vsin(ωt φ)Fy=ky=kAsin(ωt φ) 即y=kAcos(ωt φ)

將此推廣可知小球在過原點的任何一條直線上的投影均做簡諧運動。

變速運動

一般地,將作圓周運動的物體所受的合力分解為徑向分力(使物體保持圓軌道運動)和切向分力(使物體速度發生變化)。

向心力的大小由運動物體的瞬時速度決定。

繩子末端的物體在這種情況下,受到的力量可以分為徑向分力和切線分力。徑向分力可以指向中心也可以向外。

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