反比

反比

兩個變數的乘積為常數時的比例關系兩個事物或一事物的兩個方面,一方 發生變化,其另一方隨之起相反的變化,如老年人隨著年齡的成長,體力反而逐漸衰弱,就是反比。把一個比的前項作為後項,後項作為前項,所構成的比和原來的比互為反比。如9:3和3:9互為反比。速度時間成反比,時間和路程是成正比。

  • 中文名稱
    反比
  • 意思
    兩個變數的乘積為常數時的比例關系
  • 反義詞
    正比
  • 拼音
    fanbi

基本資料

​兩個變數的乘積為常數時的比例關系

反比例函式圖像反比例函式圖像

①兩個事物或一事物的兩個方面,一方 發生變化,其另一方隨之起相反的變化,如老年人隨著年齡的成長,體力反而逐漸衰弱,就是反比。

②把一個比的前項作為後項,後項作為前項,所構成的比和原來的比互為反比。如9:3和3:9互為反比。

速度和時間成反比,時間路程是成正比。

例如:當k值一定時,x×y=k,中x與y成反比。

④當兩個量的積是一個常數,這種關系叫做反比。

一般的,如果兩個變數x,y之間的關系可以表示成y=k/x(k為常數,k≠0)[1],其中k叫做反比例系數,x是自變數,y是自變數x的函式,x的取值範圍是不等于0的一切實數,且y也不能等于0。k大于0時,圖像在一、三象限。k小于0時,圖像在二、四象限.k的絕對值表示的是x與y的坐標形成的矩形的面積。

(即:y等于k乘x的-1次方)(k為常數且k≠0,x≠0)

自變數的取值範圍

① 在一般的情況下 , 自變數 x 的取值範圍可以是 不等于0的任意實數

②函式 y 的取值範圍也是任意非零實數。解析式

其中x是自變數,y是x的函式,其定義域是不等于0的一切實數,即 {x|x≠0,x∈R}。下面是一些常見的形式:(k為常數(k≠0),x不等于0)反比例函式圖像屬于以原點為對稱中心的中心對稱的雙曲線(hyperbola),反比例函式圖像中每一象限的每一支曲線會無限接近X軸Y軸但不會與坐標軸相交(y≠0)。

當k>0時,兩支曲線分別位于第一、三象限內;當k<0時,兩支曲線分別位于第二、四象限內,兩個分支無限接近x和y軸,但永遠不會與x軸和y軸相交.

列表

x...-3-2-11234...
y...-4-6-1212643...

用平滑的曲線連線點。

  1. 當,K>0,Y隨X的增大而減小。
  2. 當,K<0,Y隨X的增大而增大。

過反比例函式(k≠0),圖像上一點P(x,y),作兩坐標軸的垂線,兩垂足、原點、P點組成一個矩形,矩形的面積。過反比例函式過一點,作垂線,三角形的面積為研究函式問題要透視函式的本質特征。反比例函式中,比例系數k有一個很重要的幾何意義,那就是:過反比例函式圖像上任一點P作x軸、y軸的垂線PM、PN,垂足為M、N則矩形PMON的面積。所以,對雙曲線上任意一點作x軸、y軸的垂線,它們與x軸、y軸所圍成的矩形面積為常數。從而有k的絕對值。在解有關反比例函式的問題時,若能靈活運用反比例函式中k的幾何意義,會給解題帶來很多方便。

反比例函式反比例函式

當k>0時,圖像分別位于第一、三象限,每一個象限內,從左往右,y隨x的增大而減小;當k<0時,圖像分別位于第二、四象限,每一個象限內,從左往右,y隨x的增大而增大。k>0時,函式在x<0上同為減函式、在x>0上同為減函式;k<0時,函式在x<0上為增函式、在x>0上同為增函式。

相交性

因為在(k≠0)中,x不能為0,y也不能為0,所以反比例函式的圖像不可能與x軸相交,也不可能與y軸相交,隻能無限接近x軸,y軸。

面積

反比例函式上一點 向 、 軸分別作垂線,交于 、 ,則QOWM( 為原點)的面積為 ,則連線該矩形的對角線即連線OM,則RT△OMQ的面積=½

圖像表達

反比例函式的圖像既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形,它有兩條對稱軸 y=±x(即第一三,二四象限角平分線),對稱中心是坐標原點。反比例函式圖像不與x軸和y軸相交。 的漸近線為:x軸與y軸。k值相等的反比例函式圖像重合,k值不相等的反比例函式圖像永不相交。|k|越大,反比例函式的圖像離坐標軸的距離越遠。

對稱性

反比例函式圖像是中心對稱圖形,對稱中心是原點;反比例函式的圖像也是軸對稱圖形,反比例函式圖像上的點關于坐標原點對稱。所以,它的圖像的對稱軸是:如果圖像在一、三象限,則對稱軸為二、四象限的角平分線Y=-X,如果圖像在二、四象限,則對稱軸為一、三象限的角平分線Y=X。圖像關于原點對稱。若設正比例函式y=mx與反比例函式交于A、B兩點(m、n同號),那麽A B兩點關于原點對稱。反比例函式關于正比例函式y=±x軸對稱,並且關于原點中心對稱。

與正比例函式交點

設在平面內有反比例函式一次函式y=mx+n,要使它們有公共交點。


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