加權平均

加權平均

加權平均數與算術平均數類似,不同點在于,資料中的每個點對于 平均數的貢獻並不是相等的,有些點要比其他的點更加重要。加權平均數的概念在描述統計學中具有重要的意義,並且在其他數學領域產生了更一般的形式。如果所有的權重相同,那麽加權平均數與算術平均數相同。加權平均數作為算術平均數的更廣義的表現形式,加權平均數具有一些看起來違反常理的性質,例如辛普森悖論。術語加權平均數通常指的是加權算術平均數,但是其他平均數的加權版本也可以計算出來,例如加權幾何平均數和加權調和平均數。

  • 中文名稱
    加權平均
  • 外文名稱
    The weighted average
  • 別稱
    算術平均
  • 違反常理的性質
    辛普森悖論
  • 分析
    考慮到不同變數在整體中的比例份額
  • 分類
    ​統計學名詞
  • 說明
    考慮到不同變數在整體中的比例份額

定義

一般來說,平均數反映了一組資料的一般水準,利用平均數,可以從橫向和縱向兩個方面對事物進行分析比較,從而得出結論。例如,要想比較同一年級的兩個班同學學習成績,如果用每個班的總成績進行比較,會由于班級人數不同,而使比較失去真正意義。但是如果用平均分數去比較,就可以把各班的平均水準呈現出來。從縱向的角度來看,可以對同一個事物在不同的時間內的情況利用平均數反映出來,例如,通過兩個不同時間人均年收入來比較人們生活水準、經濟發展等狀況。

加權公式

要理解加權是什麽意思,首先需要理解什麽叫“權”,“權”的古代含義為秤砣,就是秤上可以滑動以觀察重量的那個鐵疙瘩。《孟子·梁惠王上》曰:“權,然後知輕重。”就是這意思。

1.在日常生活中,我們常用平均數表示一組資料的‘平均水準’。

2.在一組資料裏,一個資料出現的次數稱為權。

例子:學校算期末成績,期中考試佔30%,期末考試佔50%,作業佔20%,假如某人期中考試得了84,期末92,作業分91,如果是算數平均,那麽就是(84+92+91)/3=89;

加權後的,那麽加權處理後就是(84*30%+92*50%+91*20%)=89.4,這是在已知權重的情況下;

那麽未知權重的情況下呢?想知道兩個班的化學加權平均值,一班50人,平均80,二班60人,平均82,算數平均是(80+82)/2=81,加權後是(50*80+60*82)/(50+60)=81.09.還有一種情況類似第一種也是人為規定,比如說你覺得專家的分量比較大,老師其次,學生最低,就某觀點,滿分10分的情況下,專家打8分,老師打7分,學生打6分,但你認為專家權重和老師及學生權重應為0.5:0.3:0.2,那麽加權後就是8*0.5+7*0.3+6*0.2=7.3,而算數平均的話就是(8+6+7)/3=7。

你的小測成績是80分,期末考成績是90分,老師要計算總的平均成績,就按照小測40%、期末成績60%的比例來算,所以你的平均成績是:

80×40%+90×60%=86

學校食堂吃飯,吃三碗的有 χ 人,吃兩碗的有 y 人,吃一碗的 z 人。平均每人吃多少?

(3x + 2y + z)÷(χ + y + z)

這裏x、y、z分別就是權數值,"加權"就是考慮到不同變數在整體中的比例份額。

加權平均數=(x1f1 + x2f2+ ... xkfk)/n,其中f1 + f2 + ... + fk=n,f1,f2,…,fk叫做權。通過數和權的乘積來計算 。

需要註意的是:算術平均實際上是一種特殊的加權平均,即權重相同的加權平均。比如f1=f2=f3=...fn。那麽加權平均數=(x1f1 + x2f2+ ... xkfk)/n,實際上確切的說是一種算術平均。

詳細介紹

當一組資料中的某些數重復出現幾次時,那麽它們的平均數的表示形式發生了一定的變化.例如,某人射擊十次,其中二次射中10環,三次射中8環,四次射中7環,一次射中9環,那麽他平均射中的環數為:(10 *2+8*3+7*4+9*1)/10 = 8.1

加權平均加權平均

這裏,7,8,9,10這四個數是射擊者射中的幾個不同環數,但它們出現的頻數不同,分別為4,3,1,2,資料的頻數越大,表明它對整組資料的平均數影響越大,實際上,頻數起著權衡資料的作用,稱之為權數或權重,上面的平均數稱為加權平均數,不難看出,各個資料的權重之和恰為10。

在加權平均數中,除了一組資料中某一個數的頻數稱為權重外,權重還有更廣泛的含義。

其實,在每一個數的權數相同的情況下,加權平均值就等于算數平均值。

此外在一些體育比賽項目中,也要用到權重的思想.比如在跳水比賽中,每個運動員除完成規定動作外,還要完成一定數量的自選動作,而自選動作的難度是不同的,兩位選手由于所選動作的難度系數不同,盡管完成各自動作的質量相同,但積分也是不相同的,難度系數大的運動員積分應該高些,難度系數實際上起著權重的作用.

舉例說明

在評估某個同學一學期的學生成績時,一般不隻看他期末的一次成績,而是將平時測驗、期中考試等成績綜合起來考慮,比如說,一同學兩次單元測驗的成績分別為88,90,期中的考試成績為92,而期末的考試成績為85,如果簡單地計算這四個成績的平均數,即將平時測驗與期中、期末考試成績同等看待,就忽視了期末考試的重要性.鑒于這種考慮,我們往往將這四個成績分配以不同的權重。

由于10%+10%+30%+50%=1,即各個權重之和為1,所以求加權平均數的式子中分母為1.

88*10%+90*10%+92*30%+85*50%=87.9

下面的例子是未知權重的情況:

股票A,1000股,價格10;

股票B,2000股,價格15;

算數平均 = (10 + 15) / 2 = 12.5;

加權平均 = (10 x 1000 + 15 x 2000) / (1000 + 2000) = 13.33

普通的算術平均數的權重相等,都是1,(比如,3和5的平均數為4)也就是說它們的重要性相同,所以平均數是特殊的加權平均數.

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