切線

切線

幾何上,切線指的是一條剛好觸碰到曲線上某一點的直線。更準確地說,當切線經過曲線上的某點(即切點)時,切線的方向與曲線上該點的方向是相同的,此時,"切線在切點附近的部分"最接近"曲線在切點附近的部分"(無限逼近思想)。tangent在拉丁語中就是"to touch"的意思。類似的概念也可以推廣到平面相切等概念中。

  • 中文名稱
    切線
  • 外文名稱
    tangent
  • 套用學科
    數學
  • 定義
    一條剛好觸碰到曲線上某一點的直線

幾何定義

​曲線切線和法線的幾何定義

P和Q是曲線C上鄰近的兩點,P是定點,當Q點沿著曲線C無限地接近P點時,割線PQ的極限位置PT叫做曲線C在點P的切線,P點叫做切點;經過切點P並且垂直于切線PT的直線PN叫做曲線C在點P的法線(無限逼近的思想)

說明:平面幾何中,將和圓隻有一個公共交點的直線叫做圓的切線.這種定義不適用于一般的曲線;PT是曲線C在點P的切線,但它和曲線C還有另外一個交點;相反,直線l盡管和曲線C隻有一個交點,但它卻不是曲線C的切線。

代數定義

​曲線切線和法線的代數定義

​在高等數學中,對于一個函式,如果函式某處有導數,那麽此處的導數就是過此處的切線的斜率,該點和斜率所構成的直線就為該函式的一個切線。

此時會出現特殊例子,如在函式y=x^3中,x軸也為其切線,因為X軸與該函式隻有一個交點(和曲線隻有一個交點的直線不一定是切線,該定義在高等數學以後不適用。參見微分求一般曲線切線的解釋。):

X^3在點(0,0)處切線X^3在點(0,0)處切線

性質和定理

切線性質定理

圓的切線垂直于過其切點的半徑;經過半徑的非圓心一端,並且垂直于這條半徑的直線,就是這個圓的一條切線。

切線判定定理

一直線若與一圓有交點,且連線交點與圓心的直線與該直線垂直,那麽這條直線就是圓的切線。

一般可用:

1、作垂直證半徑

2、作半徑證垂直

圓的切線

切線性質定理

圓的切線垂直于經過切點的半徑.

推論1:經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點.(包括半徑)

推論2:經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心.(包括半徑)

切線主要性質

(1)切線和圓隻有一個公共點;

線段DA垂直于直線AB(AD為直徑)線段DA垂直于直線AB(AD為直徑)

(2)切線和圓心的距離等于圓的半徑;

(3)切線垂直于經過切點的半徑;

(4)經過圓心垂直于切線的直線必過切點;

(5)經過切點垂直于切線的直線必過圓心;

(6)從圓外一點引圓的切線和割線,切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項

其中(1)是由切線的定義得到的,(2)是由直線和圓的位置關系定理得到的,(6)是由相似三角形推得的,也就是切割線定理。

切線判定性質

切線的判定定理 經過半徑的外端並且垂直于這條半徑的直線是圓的切線 。圓的切線垂直于這個圓過切點的半徑。

幾何語言:∵lOA,點A在O上

∴直線l是⊙O的切線(切線判定定理)

切線的性質定理 圓的切線垂直于經過切點半徑

幾何語言:∵OA是⊙O的半徑,直線l切⊙O于點A

∴l ⊥OA(切線性質定理)

推論1 經過圓心且垂直于切線的直徑必經過切點

推論2 經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心

切線長定理

定理 從圓外一點可引出圓的兩條切線,它們的切線長相等,圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角

幾何語言:∵弦PB、PD切⊙O于A、C兩點

∴PA=PC,∠APO=∠CPO(切線長定理)

弦切角

弦切角定理 弦切角等于它所夾的弧對的圓周角

幾何語言:∵∠BCN所夾的是 ,∠A所對的是

∴∠BCN=∠A

推論 如果兩個弦切角所夾的弧相等,那麽這兩個弦切角也相等

幾何語言:∵∠BCN所夾的是 ,∠ACM所對的是 , =

∴∠BCN=∠ACM

弦切角概念:頂點在圓上,一邊和圓相交、另一邊和圓相切的角叫做弦切角.它是繼圓心角、圓周角之後第三種與圓有關的角.這種角必須滿足三個條件:

(1)頂點在圓上,即角的頂點是圓的一條切線的切點;

(2)角的一邊和圓相交,即角的一邊是過切點的一條弦所在的射線;

(3)角的另一邊和圓相切,即角的另一邊是切線上以切點為端點的一條射線.

它們是判斷一個角是否為弦切角的標準,三者缺一不可,比如下圖中,均不是弦切角.

(4)弦切角可以認為是圓周角的一個特例,即圓周角的一邊繞頂點旋轉到與圓相切時所成的角.正因為如此,弦切角具有與圓周角類似的性質.

弦切角定理:弦切角等于它所夾的弧對的圓周角.它是圓中證明角相等的重要定理之一.

切割線定理:從圓外一點引圓的切線和割線,切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。

推論:從圓外一點引圓的兩條割線,這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。

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