函式 -定義

函式

定義
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數學中,一個函式是描述每個輸入值對應唯一輸出值的這種對應關系,符號通常為f(x)。在英文中讀作f of x,但在中文中則常讀作fx。其中x為自變數,y=f(x)為因變數(或稱應變數)。包含某個函式所有的輸入值的集合被稱作這個函式的定義域,包含所有的輸出值的集合被稱作值域

  • 中文名稱
    函式
  • 外文名稱
    function
  • 套用領域
    金融、IT、數學、教育
  • 套用學科
    數學、電腦、金融、科學等
  • 表示法
    列表法、圖像法、解析法
  • 三要素
    自變數、因變數、對應法則
  • 提出者
    李善蘭
  • 表達方式
    y=f(x)
  • 別稱
    含數

​基本介紹

函式是數學中的一個基本概念,也是代數學裏面最重要的概念之一。

​函式定義    

在某變化過程中有兩個變數x,y,按照某個對應法則,對于給定的x,有唯一確定的值y與之對應,那麽y就叫做x的函式。其中x叫自變數,y叫因變數。

在一個變化過程中,發生變化的量叫變數,有些數值是不隨變數而改變的,我們稱它們為常量。

自變數,函式一個與它量有關聯的變數,這一量中的任何一值都能在它量中找到對應的固定值。

因變數(函式),隨著自變數的變化而變化,且自變數取唯一值時,因變數(函式)有且隻有唯一值與其相對應。

函式值,在y是x的函式中,x確定一個值,Y就隨之確定一個值,當x取a時,Y就隨之確定為b,b就叫做a的函式值。

現代定義

一般地,給定非空數集A,B,按照某個對應法則f,使得A中任一元素x,都有B中唯一確定的y與之對應,那麽從集合A到集合B的這個對應,叫做從集合A到集合B的一個函式。記作:x→y=f(x),x∈A.集合A叫做函式的定義域,記為D,集合{y∣y=f(x),x∈A}叫做值域,記為C。定義域,值域,對應法則稱為函式的三要素。一般書寫為y=f(x),x∈D.若省略定義域,則指使函式有意義的一切實數所組成的集合。

簡單來說:是兩個變數的對應關系。註意①兩個變數②一個自變數隻對一個函式值。

對應的定義

一般地,給定非空數集A,B,從集合A到集合B的一個對應,叫做從集合A到集合B的一個函式。                 

向量函式:自變數是向量的函式 叫向量函式 f(a1.a2,a3......an)=y

函式

對應定義

設A和B是兩個非空集合,如果按照某種對應關系f,對于集合A中的任何一個元素a,在集合B中都存在唯一的一個元素b與之對應,那麽,這樣的對應(包括集合A,B,以及集合A到集合B的對應關系f)叫做集合A到集合B的對應(Mapping),記作f:A→B。其中,b稱為a在對應f下的,記作:b=f(a); a稱為b關于對應f的原象集合A中所有元素的象的集合記作f(A)。

則有:定義在非空數集之間的對應稱為函式。(函式的自變數是一種特殊的原象,因變數是特殊的象)

幾何含義

函式與不等式和方程存在聯系(初等函式)。令函式值等于零,從幾何角度看,對應的自變數的值就是圖象與X軸的交點的橫坐標;從代數角度看,對應的自變數是方程的解。另外,把函式的表達式(無表達式的函式除外)中的“=”換成“<”或“>”,再把“Y”換成其它代數式,函式就變成了不等式,可以求自變數的範圍。

函式的集合論

如果X到Y的二元關系f:X×Y,對于每個x∈X,都有唯一的y∈Y,使得<x,y>∈f,則稱f為X到Y的函式,記做:f:X→Y。

當X=X1×…×Xn時,稱f為n元函式。

其特點:

前域和定義域重合

單值性:<x,y>∈f∧<x,y’>∈f →y=y’

發展歷史

早期函式概念

十七世紀伽俐略(G.Galileo,意,1564-1642)在《兩門新科學》一書中,幾乎全部包含函式或稱為變數關系的這一概念,用文字和比例的語言表達函式的關系。1637年前後笛卡爾(Descartes,法,1596-1650)在他的解析幾何中,已註意到一個變數對另一個變數的依賴關系,但因當時尚未意識到要提煉函式概念,因此直到17世紀後期牛頓、萊布尼茲建立微積分時還沒有人明確函式的一般意義,大部分函式是被當作曲線來研究的。

1673年,萊布尼茲首次使用“function”(函式)表示“冪”,後來他用該詞表示曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線長等曲線上點的有關幾何量。與此同時,牛頓在微積分的討論中,使用 “流量”來表示變數間的關系。

十八世紀函式概念

1718年約翰·柏努利(Johann Bernoulli ,瑞,1667-1748)在萊布尼茲函式概念的基礎上對函式概念進行了定義:“由任一變數和常數的任一形式所構成的量。”他的意思是凡變數x和常量構成的式子都叫做x的函式,並強調函式要用公式來表示。 1748年,柏努利的學生歐拉在《無窮分析引論》一書中說:“一個變數的函式是由該變數的一些數或常量與任何一種方式構成的解析表達式。

1755,歐拉(L.Euler,瑞士,1707-1783) 把函式定義為“如果某些變數,以某一種方式依賴于另一些變數,即當後面這些變數變化時,前面這些變數也隨著變化,我們把前面的變數稱為後面變數的函式。”

18世紀中葉歐拉(L.Euler,瑞士,1707-1783)給出了定義:“一個變數的函式是由這個變數和一些數即常數以任何方式組成的解析表達式。”他把約翰·貝努利給出的函式定義稱為解析函式,並進一步把它區分為代數函式和超越函式,還考慮了“隨意函式”。不難看出,歐拉給出的函式定義比約翰·貝努利的定義更普遍、更具有廣泛意義。

十九世紀函式概念

1821年,柯西(Cauchy,法,1789-1857) 從定義變數起給出了定義:“在某些變數間存在著一定的關系,當一經給定其中某一變數的值,其他變數的值可隨著而確定時,則將最初的變數叫自變數,其他各變數叫做函式。”在柯西的定義中,首先出現了自變數一詞,同時指出對函式來說不一定要有解析表達式。不過他仍然認為函式關系可以用多個解析式來表示,這是一個很大的局限。

1822年傅裏葉(Fourier,法國,1768——1830)發現某些函式也已用曲線表示,也可以用一個式子表示,或用多個式子表示,從而結束了函式概念是否以唯一一個式子表示的爭論,把對函式的認識又推進了一個新層次。

1837年狄利克雷(Dirichlet,德國,1805-1859) 突破了這一局限,認為怎樣去建立x與y之間的關系無關緊要,他拓廣了函式概念,指出:“對于在某區間上的每一個確定的x值,y都有一個確定的值,那麽y叫做x的函式。”這個定義避免了函式定義中對依賴關系的描述,以清晰的方式被所有數學家接受。這就是人們常說的經典函式定義。

等到康托(Cantor,德國,1845-1918)創立的集合論在數學中佔有重要地位之後,維布倫(Veblen,美,1880-1960)用“集合”和“對應”的概念給出了近代函式定義,通過集合概念把函式的對應關系、定義域及值域進一步具體化了,且打破了“變數是數”的極限,變數可以是數,也可以是其它對象。

現代函式概念

1914年豪斯道夫(F.Hausdorff)在《集合論綱要》中用不明確的概念“序偶”來定義函式,其避開了意義不明確的“變數”、“對應”概念。庫拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念來定義“序偶”使豪斯道夫的定義很嚴謹了。

1930 年新的現代函式定義為“若對集合M的任意元素x,總有集合N確定的元素y與之對應,則稱在集合M上定義一個函式,記為y=f(x)。元素x稱為自變元,元素y稱為因變元。”

函式圖象

函式f的圖象是平面上點對(x,fx))的集合,其中x取定義域上所有成員的。函式圖象可以幫助理解證明一些定理。

如果XY都是連續的線,則函式的圖象有很直觀表示註意兩個集合XY的二元關系有兩個定義:一是三元組X,Y,G),其中G是關系的圖;二是索性以關系的圖定義。用第二個定義則函式f等于其圖象。

當k<0時,直線為升,過一三象限或向上平移,向下平移象限;當k>0時,直線為降,過二四象限,向上或向下平移象限。

函式性質

函式的有界性

設函式f(x)的定義域為D,數集X包含于D。如果存在數K1,使得f(x)≤K1對任一x∈X都成立,則稱函式f(x)在X上有上界,而K1稱為函式f(x)在X上的一個上界。如果存在數K2,使得f(x)≥K2對任一x∈X都成立,則稱函式f(x)在X上有下界,而K2稱為函式f(x)在X上的一個下界。如果存在正數M,使得|f(x)|<=M對任一x∈X都成立,則稱函式f(x)在X上有界,如果這樣的M不存在,就稱函式f(x)在X上無界。

函式f(x)在X上有界的充分必要條件是它在X上既有上界又有下界。

函式的單調性

設函式f(x)的定義域為D,區間I包含于D。如果對于區間I上任意兩點x1及x2,當x1<x2時,恆有f(x1)<f(x2),則稱函式f(x)在區間I上是單調增加的;如果對于區間I上任意兩點x1及x2,當x1<x2時,恆有f(x1)>f(x2),則稱函式f(x)在區間I上是單調減少的。單調增加和單調減少的函式統稱為單調函式

函式的奇偶性

f(x)為一個實變數值函式,則f奇函式若下列的方程對所有實數x都成立:

f(x) = f( - x) 或f( -x) = - f(x) 幾何上,一個奇函式與原點對稱,亦即其在繞原點做180旋轉後不會改變。

奇函式的例子有xsin(x)、sinh(x)和erf(x)。

f(x)為一實變數實值函式,則f偶函式若下列的方程對所有實數x都成立:

f(x) = f( - x) 幾何上,一個偶函式會對y軸對稱,亦即其圖在對y軸為鏡射後不會改變。

偶函式的例子有|x|、x^2cos(x)和cosh(sec)(x)。

偶函式不可能是個雙射對應。

函式的周期性

設函式f(x)的定義域為D。如果存在一個正數l,使得對于任一x∈D有(x士l)∈D,且f(x+l)=f(x)恆成立,則稱f(x)為周期函式,l稱為f(x)的周期,通常我們說周期函式的周期是指最小正周期。周期函式的定義域 D 為至少一邊的無界區間,若D為有界的,則該函式不具周期性

並非每個周期函式都有最小正周期,例如狄利克雷(Dirichlet)函式。

函式的連續性

在數學中,連續是函式的一種屬性。直觀上來說,連續的函式就是當輸入值的變化足夠小的時候,輸出的變化也會隨之足夠小的函式。如果輸入值的某種微小的變化會產生輸出值的一個突然的跳躍甚至無法定義,則這個函式被稱為是不連續的函式(或者說具有不連續性)。

f是一個從實數集子集射到 的函式:。f在中的某個c處是連續的當且僅當以下的兩個條件滿足:

f在點c上有定義。c是中的一個聚點,並且無論自變數x在中以什麽方式接近cf(x) 的極限都存在且等于f(c)。我們稱函式到處連續處處連續,或者簡單的連續,如果它在其定義域中的任意點處都連續。更一般地,我們說一個函式在它定義域的子集上是連續的當它在這個子集的每一點處都連續。

不用極限的概念,也可以用下面所謂的 方法來定義實值函式的連續性。

仍然考慮函式。假設cf的定義域中的元素。函式f被稱為是在c點連續當且僅當以下條件成立:

對于任意的正實數,存在一個正實數δ> 0 使得對于任意定義域中的,隻要x滿足c - δ< x < c + δ,就有成立。

函式的凹凸性

設函式f(x)在I上連續。如果對于I上的兩點x1≠x2,恆有f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2,(f((x1+x2)/2)<(f(x1)+f(x2))/2)那麽稱f(x)是區間I上的(嚴格)凸函式;如果恆有f((x1+x2)/2)≥(f(x1)+f(x2))/2,(f((x1+x2)/2)>(f(x1)+f(x2))/2)那麽稱f(x)是區間上的(嚴格)凹函式。        一些資料中常常僅定義凹函式凸函式則稱凹函式凹函式則稱凹函式

實函式或者虛函式

實函式(Real function)是指定義域和值域均為實數域的函式。它的特徵之一是一般可以在坐標上畫出圖形。

虛函式是面向對象程式設計中的一個重要的概念。當從父類中繼承的時候,虛函式和被繼承的函式具有相同的簽名。但是在運行過程中,運行系統將根據對象的類型,自動地選擇適當的具體實現運行。虛函式是面向對象編程實現多態的基本手段。

分類介紹

定義域、對應域和值域

輸入值的集合 X 被稱為 f 的定義域;可能的輸出值的集合Y 被稱為f的值域。函式的值域是指定義域中全部元素通過對應 f 得到的實際輸出值的集合。註意,把對應域稱作值域是不正確的,函式的值域是函式的對應域的子集。

電腦科學中,參數和返回值的資料類型分別確定了子程式的定義域和對應域。因此定義域和對應域是函式一開始就確定的強製進行約束。另一方面,值域是和實際的實現有關。

單射、滿射與雙射函式

單射函式,將不同的變數對應到不同的值。即:若x和y屬于定義域,則僅當x 不等于 y時有f(x)不等于 f(y)。

滿射函式,其值域即為其對映域。即:對對應f的對映域中之任意y,都存在至少一個x滿足f(x)= y。

雙射函式,既是單射的又是滿射的。也叫一一對應。雙射函式經常被用于表明集合X和Y是等勢的,即有一樣的基數。如果在兩個集合之間可以建立一個一一對應,則說這兩個集合等勢。

象和原象

元素xXf的象就是fx),他們所取的式值為0。

子集A?Xf的象是以其元素的象組成Y的子集,即f(x)

反函式

一般地,設函式y=f(x)(x∈A)的值域是C,根據這個函式中x,y 的關系,用y把x表示出,得到x= f(y). 若對于y在C中的任何一個值,通過x= f(y),x在A中都有唯一的值和它對應,那麽,x= f(y)就表示y是自變數,x是自變數y的函式,這樣的函式x= f(y)(y∈C)叫做函式y=f(x)(x∈A)的反函式記作x=f^-1(y).。反函式y=f^-1(x)的定義域、值域分別是函式y=f(x)的值域、定義域。

說明

⑴在函式x=f^-1(y)中,y是自變數,x是函式,但習慣上,我們一般用x表示自變數,用y 表示函式,為此我們常常對調函式x=f^-1(y)中的字母x,y,把它改寫成y=f^-1(x),今後凡無特別說明,函式y=f(x)的反函式都採用這種經過改寫的形式。。

⑵反函式也是函式,因為它符合函式的定義。 從反函式的定義可知,對于任意一個函式y=f(x)來說,不一定有反函式,若函式y=f(x)有反函式y=f^-1(x),那麽函式y=f^-1(x)的反函式就是y=f(x),這就是說,函式y=f(x)與y=f^-1(x)互為反函式。

⑶從對應的定義可知,函式y=f(x)是定義域A到值域C的對應,而它的反函式y=f^-1(x)是集合C到集合A的對應,因此,函式y=f(x)的定義域正好是它的反函式y=f^-1(x)的值域;函式y=f(x)的值域正好是它的反函式y=f^-1(x)的定義域(如下表):

函式y=f(x) 反函式y=f^-1(x)

定義域A C

值域 C A

⑷上述定義用“”對應概念可敘述為:

若確定函式y=f(x)的對應f是函式的定義域到值域“上”的“一一對應”,那麽由f的“逆”對應f^-1所確定的函式x=f^-1(x)就叫做函式y=f(x)的反函式. 反函式x=f^-1(x)的定義域、值域分別是函式y=f(x)的值域、定義域。

開始的兩個例子:s=vt記為f(t)=vt,則它的反函式就可以寫為f^-1(t)=t/v,同樣y=2x+6記為f(x)=2x+6,則它的反函式為:f^-1(x)=x/2-3。

有時是反函式需要進行分類討論,如:f(x)=X+1/X,需將X進行分類討論:在X大于0時的情況,X小于0的情況,多是要註意的。一般分數函式的反函式的表示為y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a

反函式的套用:

直接求函式的值域困難時,可以通過求其原函式的定義域來確定原函式的值域,求反函式的步驟是這樣的:

1.先求出原函式的值域,因為原函式的值域就是反函式的定義域

(我們知道函式的三要素是定義域,值域,對應法則,所以先求反函式的定義域是求反函式的第一步)

2.反解x,也就是用y來表示x

3.改寫,交換位置,也就是把x改成y,把y改成x

4.寫出反函式及其定義域

就關系而言,一般是雙向的 ,函式也如此,設y=f(x)為已知的函式,若對每個y∈Y,有唯一的x∈X,使f(x)=y,這是一個由y找x的過程 ,即x成了y的函式,記為x=f -1(y)。則f -1為f的反函式。習慣上用x表示自變數,故這個函式仍記為y=f -1(x),例如 y=sinx與y=arcsinx 互為反函式。在同一坐標系中,y=f(x)與y=f -1(x)的圖形關于直線y=x對稱。

隱函式

若能由方程F(x,y)=0 確定y為x的函式y=f(x),即F(x,f(x))≡0,就稱y是x的隱函式。有些隱函式能表示為顯函式(y=f(x)的形式),有些則不能。

如:sin(x+y)=0;x^2+y^2-25=0 等等

註意:此處為方程F(x,y )= 0 並非函式。

思考:隱函式是否為函式?

不是,因為在其變化的過程中並不滿足“一對一”和“多對一”。

多元函式

設有非空數集G、U,點(x1,x2,…,xn) ∈G,若對每一點(x1,x2,…,xn)∈G,由某規則f有唯一的 u∈U與之對應:f:G→U,u=f(x1,x2,…,xn),則稱f為一個n元函式,G為定義域,U為值域。

基本初等函式及其圖象冪函式指數函式對數函式三角函式反三角函式稱為基本初等函式。

①冪函式:y=x^μ(μ≠0,μ為任意實數)定義域:μ為正整數時為(-∞,+∞),μ為負整數時是 (-∞,0)∪(0,+∞);μ=α(a為整數),當α是奇數時為(-∞,+∞),當α是偶數時為(0,+∞);μ=p/q,p,q互素,作為的復合函式進行討論。

②指數函式:y=a^x(a>0 ,a≠1),定義域為(-∞,+∞),值域為(0 ,+∞),a>1 時是嚴格單調增加的函式(即當x2>x1時,) ,0③對數函式:y=logax(a>0),稱a為底 ,定義域為(0,+∞),值域為(-∞,+∞) 。a>1 時是嚴格單調增加的,0<a<1時是嚴格單減的。不論a為何值,對數函式的圖形均過點(1,0),對數函式與指數函式互為反函式。

以10為底的對數稱為常用對數,簡記為lgx 。在科學技術中普遍使用的是以e為底的對數,即<a>自然對數,記作lnx。

④三角函式:見表2。

正弦函式、餘弦函式如圖6,圖7所示。

⑤反三角函式:見表3。雙曲正、餘弦如圖8。

⑥雙曲函式:雙曲正弦(ex-e-x),雙曲餘弦?(ex+e-x),雙曲正切(ex-e-x)/(ex+e-x),雙曲餘切( ex+e-x)/(ex-e-x)。

按照未知數次數分類

常函式

x取定義域內任意數時,都有 y=C (C是常數),則函式y=C稱為常函式,

其圖象是平行于x軸的直線或直線的一部分。

一次函式

I、定義與定義式:自變數x和因變數y有如下關系: y=kx+b(k,b為常數,k≠0)則稱y是x的一次函式。特別地,當b=0時,即y=kx時,y是x的正比例函式。

(斜截式較常用。僅當斜率k存在時才能使用斜截式和點斜式)

一般式:ax+by+c=0

斜截式:y=kx+b

點斜式:y-y0=k(x-x0)

截距式:x/a+y/b=1(a,b分別為x,y軸上的截距)

兩點式:(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1)

II、一次函式的性質: y的變化值與對應的x的變化值成正比例,比值為k 即y/x=k III、一次函式的圖象及性質:

1. 作法與圖形:通過如下3個步驟

(1)列表(一般找4-6個點);

(2)描點;

(3)連線,可以作出一次函式的圖象。(用平滑的曲線連線)

2.性質:在一次函式圖象上的任意一點P(x,y),都滿足等式:y=kx+b。

3. k,b與函式圖象所在象限。當k>0時,直線必通過一、三象限,y隨x的增大而增大; 當k<0時,直線必通過二、四象限,y隨x的增大而減小。當b>0時,直線必通過一、二象限當b<0時,直線必通過三、四象限。 特別地,當b=0時,直線通過原點O(0,0)表示的是正比例函式的圖象。這時,當k>0時,直線隻通過一、三象限與原點。當k<0時,直線隻通過二、四象限與原點。

IV、確定一次函式的表達式:已知點A(x1,y1);B(x2,y2),請確定過點A、B的一次函式的表達式。

(1)設一次函式的表達式(也叫解析式)為y=kx+b。

(2)因為在一次函式上的任意一點P(x,y),都滿足等式y=kx+b。所以可以列出2個方程: y1=kx1+b①和 y2=kx2+b②。

(3)解這個二元一次方程,得到k,b的值。

(4)最後得到一次函式的表達式。

V、在y=kx+b中,兩個坐標系必定經過(0,b)和(-b/k,0)兩點

VI、一次函式在生活中的套用

1.當時間t一定,距離s是速度v的一次函式。s=vt。

2.當水池抽水速度f一定,水池中水量g是抽水時間t的一次函式。設水池中原有水量S。g=S-ft。反比例函式形如 y=k/x(k為常數且k≠0) 的函式,叫做反比例函式。自變數x的取值範圍是不等于0的一切實數。 反比例函式的圖象為雙曲線。如圖,上面給出了k分別為正和負(2和-2)時的函式圖象。

二次函式

一般地,自變數x和因變數y之間存在如下關系: y=ax^2+bx+c (a≠0)(a,b,c為常數,a≠0,且a決定函式的開口方向,a>0時,開口方向向上,a<0時,開口方向向下。IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大。)則稱y為x的二次函式。

二次函式表達式的右邊通常為二次三項式。x是自變數,y是x的函式。

二次函式的三種表達式

一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)

頂點式:y=a(x-h)^2+k [拋物線的頂點P(h,k) 對于二次函式y=ax^2+bx+c 其頂點坐標為(-b/2a,(4ac-b^2)/(4a)]交點式:y=a(x-x1)(x-x 2) [僅限于與x軸有交點A(x1 ,0)和B(x2,0)的拋物線]其中x1,x2= (-b±√(b^2-4ac))/(2a) 註:在3種形式的互相轉化中,有如下關系:______h=-b/(2a) k=(4ac-b^2)/(4a) x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a

二次函式的圖象

在平面直角坐標系中作出二次函式y=x^2的圖象,可以看出,二次函式的圖象是一條拋物線。

二次函式標準畫法步驟  

(在平面直角坐標系上)

(1)列表

(2)描點

(3)連線

拋物線的性質  

1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a(頂點式 x=h)。

對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

2.拋物線有一個頂點P,坐標為P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )

當-b/2a=0時,P在y軸上;當Δ= b^2-4ac=0時,P在x軸上。

3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。

當a>0時,拋物線向上開口;當a<0時,拋物線向下開口。

|a|越大,則拋物線的開口越小。

4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。

當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左

當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。

5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

拋物線與y軸交于(0,c),c是縱截距。

6.拋物線與x軸交點個數

Δ= b^2-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點。

Δ= b^2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點。

Δ= b^2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反數,乘上虛數i,整個式子除以2a)

當a>0時,函式在x= -b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b^2/4a;在{x|x<-b/2a}上是減函式,在{x|x>-b/2a}上是增函式;拋物線的開口向上;函式的值域是{x|x≥4ac-b^2/4a}相反不變

當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸,這時,函式是偶函式,解析式變形為y=ax^2+c(a≠0)

二次函式與一元二次方程

特別地,二次函式(以下稱函式)y=ax^2+bx+c,

當y=0時,二次函式為關于x的一元二次方程(以下稱方程),

即ax^2+bx+c=0

此時,函式圖象與x軸有無交點即方程有無實數根。

函式與x軸交點的橫坐標即為方程的根。

1.二次函式y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2 +k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的圖象形狀相同,隻是位置不同,它們的頂點坐標及對稱軸如下表:

解析式

y=ax^2 ;y=a(x-h)^2 ; y=a(x-h)^2+k ; y=ax^2+bx+c

對應頂點坐標

(0,0) ; (h,0) ; (h,k) ; (-b/2a,(4ac-b^2)/4a)

對應對稱軸

x=0 ; x=h ; x=h ; x=-b/2a

當h>0時,y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到,

當h<0時,則向左平行移動|h|個單位得到.

當h>0,k>0時,將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位,再向上移動k個單位,就可以得到y=a(x-h)^2 +k的圖象

當h>0,k<0時,將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位,再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象

當h<0,k>0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象

當h<0,k<0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象

因此,研究拋物線 y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象,通過配方,將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式,可確定其頂點坐標、對稱軸,拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.

2.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象:當a>0時,開口向上,當a<0時開口向下,對稱軸是直線x=-b/2a,頂點坐標是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).

3.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,當x ≤-b/2a時,y隨x的增大而減小,函式是減函式;當x ≥-b/2a時,y隨x的增大而增大,函式是增函式.若a<0,當x ≤-b/2a時,y隨x的增大而增大,函式是增函式;當x ≥-b/2a時,y隨x的增大而減小,函式是減函式.

4.拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標軸的交點:

(1)圖象與y軸一定相交,交點坐標為(0,c);

(2)當△=b^2-4ac>0,圖象與x軸交于兩點A(x?,0)和B(x?,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

(a≠0)的兩根.這兩點間的距離AB=|x?-x?| 另外,拋物線上任何一對對稱點的距離可以由|2×(-b/2a)-A |(A為其中一點)

當△=0.圖象與x軸隻有一個交點

當△<0.圖象與x軸沒有交點.當a>0時,圖象落在x軸的上方,x為任何實數時,都有y>0;當a<0時,圖象落在x軸的下方,x為任何實數時,都有y<0.

5.拋物線y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),則當x= -b/2a時,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.

頂點的橫坐標,是取得最值時的自變數值,頂點的縱坐標,是最值的取值.

6.用待定系數法求二次函式的解析式

(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時,可設解析式為一般形式:

y=ax^2+bx+c(a≠0).

(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸時,可設解析式為頂點式:y=a(x-h)^2+k(a≠0).

(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時,可設解析式為兩根式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).

7.二次函式知識很容易與其它知識綜合套用,而形成較為復雜的綜合題目。因此,以二次函式知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題,往往以大題形式出現。

超越函式

三角函式是數學中屬于初等函式中的超越函式的一類函式。它們的本質是任意角的集合與一個比值的集合的變數之間的對應。通常的三角函式是在平面直角坐標系中定義的,其定義域為整個實數域。另一種定義是在直角三角形中,但並不完全。現代數學把它們描述成無窮數列的極限和微分方程的解,將其定義擴展到復數系。

由于三角函式的周期性,它並不具有單值函式意義上的反函式。

三角函式在復數中有較為重要的套用。在物理學中,三角函式也是常用的工具。

它有六種基本函式:

函式名:正弦 餘弦正切 餘切正割 餘割

符號 sin cos tan cot sec csc

正弦函式sin(A)=a/h

餘弦函式cos(A)=b/h

正切函式tan(A)=a/b

餘切函式cot(A)=b/a

正割函式sec(A)=h/b

餘割函式csc (A)=h/a 

在某一變化過程中,兩個變數x、y,對于某一範圍內的x的每一個值,y都有確定的值和它對應,y就是x的函式。這種關系一般用y=f(x)來表示。  

冪函式

冪函式的一般形式為y=x^a。

如果a取非零的有理數是比較容易理解的,不過初學者對于a取無理數,則不太容易理解,在我們的課程裏,不要求掌握如何理解指數為無理數的問題,因為這涉及到實數連續統的極為深刻的知識。因此我們隻要接受它作為一個已知事實即可。

對于a的取值為非零有理數,有必要分成幾種情況來討論各自的特徵:

首先我們知道如果a=p/q,q和p都是整數,則x^(p/q)=q次根號(x的p次方),如果q是奇數,函式的定義域是R,如果q是偶數,函式的定義域是[0,+∞)。當指數n是負整數時,設a=-k,則x=1/(x^k),顯然x≠0,函式的定義域是(-∞,0)∪(0,+∞).因此可以看到x所受到的限製來源于兩點,一是有可能作為分母而不能是0,一是有可能在偶數次的根號下而不能為負數,那麽我們就可以知道:

排除了為0與負數兩種可能,即對于x>0,則a可以是任意實數

排除了為0這種可能,即對于x<0和x>0的所有實數,q不能是偶數

排除了為負數這種可能,即對于x為大于且等于0的所有實數,a就不能是負數。

總結起來,就可以得到當a為不同的數值時,冪函式的定義域的不同情況如下:

如果a為任意實數,則函式的定義域為大于0的所有實數

如果a為負數,則x肯定不能為0,不過這時函式的定義域還必須根據q的奇偶性來確定,即如果同時q為偶數,則x不能小于0,這時函式的定義域為大于0的所有實數;如果同時q為奇數,則函式的定義域為不等于0 的所有實數。

在x大于0時,函式的值域總是大于0的實數。

在x小于0時,則隻有同時q為奇數,函式的值域為非零的實數。

而隻有a為正數,0才進入函式的值域。

由于x大于0是對a的任意取值都有意義的,因此下面給出冪函式在第一象限的各自情況。

可以看到:

(1)所有的圖形都通過(1,1)這點。

(2)當a大于0時,冪函式為單調遞增的,而a小于0時,冪函式為單調遞減函式。

(3)當a大于1時,冪函式圖形下凹;當a小于1大于0時,冪函式圖形上凸。

(4)當a小于0時,a越小,圖形傾斜程度越大。

(5)a大于0,函式過(0,0);a小于0,函式不過(0,0)點。

(6)顯然冪函式無界。  

復變函式

復變函式是定義域為復數集合的函式。

復數的概念起源于求方程的根,在二次、三次代數方程的求根中就出現了負數開平方的情況。在很長時間裏,人們對這類數不能理解。但隨著數學的發展,這類數的重要性就日益顯現出來。復數的一般形式是:a+bi,其中i是虛數單位。

以復數作為自變數的函式就叫做復變函式,而與之相關的理論就是復變函式論。解析函式是復變函式中一類具有解析性質的函式,復變函式論主要就研究復數域上的解析函式,因此通常也稱復變函式論為解析函式論。

復變函式論的發展簡況

復變函式論產生于十八世紀。1774年,歐拉在他的一篇論文中考慮了由復變函式的積分導出的兩個方程。而比他更早時,法國數學家達朗貝爾在他的關于流體力學的論文中,就已經得到了它們。因此,後來人們提到這兩個方程,把它們叫做“達朗貝爾-歐拉方程”。到了十九世紀,上述兩個方程在柯西和黎曼研究流體力學時,作了更詳細的研究,所以這兩個方程也被叫做“柯西-黎曼條件”。

復變函式論的全面發展是在十九世紀,就象微積分的直接擴展統治了十八世紀的數學那樣,復變函式這個新的分支統治了十九世紀的數學。當時的數學家公認復變函式論是最豐饒的數學分支,並且稱為這個世紀的數學享受,也有人稱贊它是抽象科學中最和諧的理論之一。

為復變函式論的建立做了最早期工作的是歐拉、達朗貝爾,法國的拉普拉斯也隨後研究過復變函式的積分,他們都是建立這門學科的先驅。

後來為這門學科的發展作了大量奠基工作的要算是柯西、黎曼和德國數學家維爾斯特拉斯。二十世紀初,復變函式論又有了很大的進展,維爾斯特拉斯的學生,瑞典數學家列夫勒、法國數學家彭加勒、阿達瑪等都作了大量的研究工作,開拓了復變函式論更廣闊的研究領域,為這門學科的發展做出了貢獻。

復變函式論在套用方面,涉及的面很廣,有很多復雜的計算都是用它來解決的。比如物理學上有很多不同的穩定平面場,所謂場就是每點對應有物理量的一個區域,對它們的計算就是通過復變函式來解決的。

比如俄國的茹柯夫斯基在設計飛機的時候,就用復變函式論解決了飛機機翼的結構問題,他在運用復變函式論解決流體力學和航空力學方面的問題上也做出了貢獻。

復變函式論不但在其他學科得到了廣泛的套用,而且在數學領域的許多分支也都套用了它的理論。它已經深入到微分方程、積分方程、概率論和數論等學科,對它們的發展很有影響。

復變函式論的內容

復變函式論主要包括單值解析函式理論、黎曼曲面理論、幾何函式論、留數理論、廣義解析函式等方面的內容。

如果當函式的變數取某一定值的時候,函式就有一個唯一確定的值,那麽這個函式解就叫做單值解析函式,多項式就是這樣的函式。

復變函式也研究多值函式,黎曼曲面理論是研究多值函式的主要工具。由許多層面安放在一起而構成的一種曲面叫做黎曼曲面。利用這種曲面,可以使多值函式的單值枝和枝點概念在幾何上有非常直觀的表示和說明。對于某一個多值函式,如果能作出它的黎曼曲面,那麽,函式在離曼曲面上就變成單值函式。

黎曼曲面理論是復變函式域和幾何間的一座橋梁,能夠使我們把比較深奧的函式的解析性質和幾何聯系起來。近來,關于黎曼曲面的研究還對另一門數學分支拓撲學有比較大的影響,逐漸地趨向于討論它的拓撲性質。

復變函式論中用幾何方法來說明、解決問題的內容,一般叫做幾何函式論,復變函式可以通過共形映象理論為它的性質提供幾何說明。導數處處不是零的解析函式所實現的映象就都是共形映象,共形映象也叫做保角變換。共形映象在流體力學、空氣動力學、彈性理論、靜電場理論等方面都得到了廣泛的套用。

留數理論是復變函式論中一個重要的理論。留數也叫做殘數,它的定義比較復雜。套用留數理論對于復變函式積分的計算比起線積分計算方便。計算實變函式定積分,可以化為復變函式沿閉回路曲線的積分後,再用留數基本定理化為被積分函式在閉合回路曲線內部孤立奇點上求留數的計算,當奇點是極點的時候,計算更加簡潔。

把單值解析函式的一些條件適當地改變和補充,以滿足實際研究工作的需要,這種經過改變的解析函式叫做廣義解析函式。廣義解析函式所代表的幾何圖形的變化叫做擬保角變換。解析函式的一些基本性質,隻要稍加改變後,同樣適用于廣義解析函式。

廣義解析函式的套用範圍很廣泛,不但套用在流體力學的研究方面,而且象薄殼理論這樣的固體力學部門也在套用。因此,近年來這方面的理論發展十分迅速。

從柯西算起,復變函式論已有170多年的歷史了。它以其完美的理論與精湛的技巧成為數學的一個重要組成部分。它曾經推動過一些學科的發展,並且常常作為一個有力的工具被套用在實際問題中,它的基礎內容已成為理工科很多專業的必修課程。現在,復變函式論中仍然有不少尚待研究的課題,所以它將繼續向前發展,並將取得更多套用。

upcase 字元型使小寫英文字母變為大寫 字元型

downcase 字元型使大寫英文字母變為小寫 字元型  

電腦函式

函式過程中的這些語句用于完成某些有意義的工作——通常是處理文本,控製輸入或計算數值。通過在程式代碼中引入函式名稱和所需的參數,可在該程式中執行(或稱調用)該函式。

類似過程,不過函式一般都有一個返回值。它們都可在自己結構裏面調用自己,稱為遞歸。

大多數程式語言構建函式的方法裏都含有Function關鍵字(或稱保留字)。

與數學上的函式類似,函式多用于一個等式,如y=f(x)(f由使用者自己定義)。

程式設計中的函式

許多程式語言中,可以將一段經常需要使用的代碼封裝起來,在需要使用時可以直接調用,這就是程式中的函式。比如在C語言中:

int max(int x,int y)

{

return(x>y?x:y;);

}

就是一段比較兩數大小的函式,函式有參數與返回值。C++程式設計中的函式可以分為兩類:帶參數的函式和不帶參數的函式。這兩種參數的聲明、定義也不一樣。

帶有(一個)參數的函式的聲明:

類型名標示符+函式名+(類型標示符+參數)

{

// 程式代碼

}

沒有返回值且不帶參數的函式的聲明:

void+函式名()

{

// 程式代碼

}

花括弧內為函式體。

如果沒有返回值類型名為"void", int 類型返回值為int,以此類推……

類型名有:void int long float int* long* float* ……

C++中函式的調用:函式必須聲明後才可以被調用。調用格式為:函式名(實參)

調用時函式名後的小括弧中的實參必須和聲明函式時的函式括弧中的形參個數相同。

有返回值的函式可以進行計算,也可以做為右值進行賦值。

#include <iostream>

using namespace std;

int f1(int x, int y)

{int z;

return x+y;

}

void main()

{cout<<f1(50,660)<<endl

}  

C語言中的部分函式

main(主函式)

max(求最大數的函式)

canf(輸入函式)

rintf(輸出函式)

gets (標準輸入流函式)

C語言中的庫函式

C語言為了方便使用者編寫程式,為使用者開發了大量的庫函式,其定義在.h檔案中,使用者可以調用這些函式實現強大的功能。所以對于使用者來說,掌握這些函式的用法是提高編程水準的關鍵。

復合函式

設y=f(μ),μ=φ(x),當x在μ=φ(x)的定義域Dφ中變化時,μ=φ(x)的值在y=f(μ)的定義域Df內變化,因此變數x與y之間通過變數μ形成的一種函式關系,記為

y=f(μ)=f[φ(x)]稱為復合函式,其中x稱為自變數,μ為中間變數,y為因變數(即函式)

生成條件

任何兩個函式都可以復合成一個復合函式,隻有當μ=φ(x)的值域Zφ和y=f(μ)的定義域Df的交集不為空集時,二者才可以復合成一個復合函式。

定義域

若函式y=f(u)的定義域是B﹐函式u=g(x)的定義域是A﹐則復合函式y=f[g(x)]的定義域是D={x|x∈A,且g(x)∈B}

周期性

設y=f(x),的最小正周期為T1,μ=φ(x)的最小正周期為T2,則y=f(μ)的最小正周期為T1*T2,任一周期可表示為k*T1*T2(k屬于R+)

周期函式性質:  

(1)若T(T≠0)是f(x)的周期,則-T也是f(x)的周期。

(2)若T(T≠0)是f(x)的周期,則nT(n為任意非零整數)也是f(x)的周期。

(3)若T1與T2都是f(x)的周期,則T1±T2也是f(x)的周期。

(4)若f(x)有最小正周期T*,那麽f(x)的任何正周期T一定是T*的正整數倍。

(5)T*是f(x)的最小正周期,且T1、T2分別是f(x)的兩個周期,則T1、T2∈Q(Q是有理數集)

(6)若T1、T2是f(x)的兩個周期,且 T *是無理數,則f(x)不存在最小正周期。

(7)周期函式f(x)的定義域M必定是雙方無界的集合。 

增減性

依y=f(x),μ=φ(x)的增減性決定。即“增增得增,減減得增,增減得減”,可以簡化為“同增異減”

判斷復合函式的單調性的步驟如下

(1)求復合函式定義域;

(2)將復合函式分解為若幹

個常見函式(一次、二次、冪、指、對函式);

(3)判斷每個常見函式的單調性;

(4)將中間

變數的取值範圍轉化為自變數的取值範圍;

(5)求出復合函式的單調性。

例如:討論函式y=0.8^(x2-4x+3)的單調性。

解:函式定義域為R。

令u=x2-4x+3,y=0.8^u。

指數函式y=0.8^u在(-∞,+∞)上是減函式,

u=x2-4x+3在(-∞,2]上是減函式,在[2,+∞)上是增函式,

∴函式y=0.8^(x2-4x+3)在(-∞,2]上是增函式,在[2,+∞)上是減函式。

利用復合函式求參數取值範圍

求參數的取值範圍是一類重要問題,解題關鍵是建立關于這個參數的不等式組,必須將已知的所有條件加以轉化。

相關介紹

數學中常用的具體函式

高斯函式

階梯函式

脈沖函式

對數函式

一次函式的圖象性質

1.作法與圖形:通過如下3個步驟

(1)列表

(2)描點;[一般取兩個點,根據“兩點確定一條直線”的道理]

(3)連線,可以作出一次函式的圖象——一條直線。因此,作一次函式的圖象隻需知道2點,並連成直線即可。(通常找函式圖象與x軸和y軸的交點分別是-k分之b與0,0與b)

2.性質:(1)在一次函式上的任意一點P(x,y),都滿足等式:y=kx+b(k≠0)。(2)一次函式與y軸交點的坐標總是(0,b),與x軸總是交于(-b/k,0)正比例函式的圖象都是過原點。

3.函式不是數,它是指某一變化過程中兩個變數之間的關系。

4.k,b與函式圖象所在象限:

y=kx時(即b等于0,y與x成正比例):

當k>0時,直線必通過第一、三象限,y隨x的增大而增大

當k<0時,直線必通過第二、四象限,y隨x的增大而減小。

y=kx+b時:

當 k>0,b>0, 這時此函式的圖象經過第一、二、三象限。

當 k>0,b<0, 這時此函式的圖象經過第一、三、四象限。

當 k<0,b>0, 這時此函式的圖象經過第一、二、四象限。

當 k<0,b<0, 這時此函式的圖象經過第二、三、四象限。

當b>0時,直線必通過第一、二象限

當b<0時,直線必通過第三、四象限。

特別地,當b=0時,直線通過原點O(0,0)表示的是正比例函式的圖象。

這時,當k>0時,直線隻通過第一、三象限,不會通過第二、四象限。當k<0時,直線隻通過第二、四象限,不會通過第一、三象限。

4、特殊位置關系

當平面直角坐標系中兩直線平行時,其函式解析式中K值(即一次項系數)相等

當平面直角坐標系中兩直線垂直時,其函式解析式中K值互為負倒數(即兩個K值的乘積為-1)

5套用

可用于求圓的切線、立體幾何繪圖等  

Word中建立函式公式

在Microsoft Word、WPS等軟體插入函式時,一般需要借助其編輯公式功能。以Word文檔為例介紹Word中建立函式公式的方法:

第1步,開啟Word2010文檔視窗,切換到“插入”功能區。在“符號”分組中單擊“公式”按鈕(非“公式”下拉三角按鈕)。

第2步,在Word2010文檔中建立一個空白公式架構,在“公式工具/設計”功能區中,單擊“結構”分組中的“函式”按鈕。在開啟的函式結構列表中會顯示三角函式、反函式、雙曲函式、反雙曲函式等多種類型的函式。根據需要選擇合適的函式形式(例如選擇“正弦函式”)。

第3步,在空白公式架構中將插入函式結構 ,單擊佔位符框並輸入具體函式數值即可。

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