倒數 -數學學科術語

倒數

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倒數(reciprocal / multiplicative inverse)讀(dào shù),在數學上是指與某數(x)相乘的積為1的數,記為1/x或x。除了0以外的復數都存在倒數, 隻有0沒有倒數。

要求一個數的倒數,隻需將其以1除,便可得到倒數。

倒數,一般在電腦中表示為1/x。

  • 中文名稱
    倒數
  • 外文名稱
     count backwards
  • 屬    于
  • 舉    例
    4/3的倒數是3/4

​實數的倒數

1.求一個分數的倒數,例如3/4,我們隻須把3/4這個分數的分子和分母交換位置,即得3/4的倒數為4/3;

2.求一個整數的倒數,隻須把這個整數看成是分母為1的分數,然後再按求分數倒數的方法即可得到.如12,即12/1,再把12/1這個分數的分子和分母交換位置,把分子做分母,分母做分子,則有1/12。 即12倒數是1/12;

3.說明:倒數是本身的數是1和-1,正數的倒數是正數,負數的倒數是負數,0沒有倒數;

4.把0.25化成分數,即1/4,再把1/4這個分數的分子和分母交換位置,把原來的分子做分母,原來的分母做分子.則是4/1,再把4/1化成整數,即4.所以0.25是4的倒數。也可以說4是0.25的倒數.也可以用1去除以這個數,例如0.25,1/0.25等于4,所以0.25的倒數4.

因此乘積是1的兩個數互為倒數.

分數、整數也都使不完整用這種規律.


倒數約分問題

在求倒數過程中,當然要約分,如14/35

約分以後成2/5

最後按照求倒數的方法求出14/35的倒數.

數論倒數

而在數論中,還有數論倒數的概念,如果兩個數a和b,它們的乘積關于模m餘1,那麽我們稱它們互為關于模m的數論倒數.比如2*3 =1 (mod 5),所以3是2關于5的數論倒數.數論倒數在中國剩餘定理中非常重要.而輾轉相除法提供了計算數論倒數的方法.

群論中倒數

近世代數中有群,域,環等概念,其中定義了抽象的乘法運算和單位元.同樣的,關于其乘法如果有乘法逆,同樣可以看成是倒數.

倒數的特點

倒數的特點:一個正實數(1除外)加上它的倒數 一定大于2.理由:a/b,b/a為倒數當a>b時a/b一定大于1,可寫為1+(a-b)/b因為b/a+(a-b)/a=b*b/a*b+(a*b-b*b)/ab=(a*a-b*b+b*b)/ab=a*a/a*b,又因為a>b,所以a*a>a*b,所以a*a/a*b>1,所以1+(a-b)/b+a*a/a*b>2,所以一個正實數加上它的倒數一定大于2.

當b>a時也一樣.

同理可證,一個負實數(-1除外)加上它的倒數一定小于2

倒數的特點:一個正實數(1除外)加上它的倒數 一定大于2.

求證:a,b均為非1正實數,且a不等于b,a/b和b/a互為倒數,a/b+b/a>2.

證明:因為a/b=1+(a-b/)b,b/a=1+(b-a)/a,所以a/b+b/a=1+(a-b/)b+1+(b-a)/a=2+a(a-b)/ab+b(b-a)/ab=2+(a*a-2ab+b*b)/ab=2+(a-b)(a-b)/ab,又因為a,b均為非1正實數,且a不等于b,所以(a-b)(a-b)>0,ab>0,所以(a-b)(a-b)/ab>0,所以2+(a-b)(a-b)/ab>2,即a/b+b/a>2.

同理可證,一個負實數(-1除外)加上它的倒數一定小于-2.

倒數解題

在四則混合運算中,有時會用到倒數來解題,正規解起來很麻煩.

例如:計算1/4÷(5/8+3/4-1/2)

解:原式的倒數=(5/8+3/4-1/2)÷1/4

=(5/8+3/4-1/2)×4

=5/8×4+3/4×4-1/2×4

=5/2+3-2

=7/2.

∴原式=2/7.

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