三角形

三角形

三角形是由三條線段順次首尾相連,組成的一個閉合的平面圖形是最基本的多邊形。一般用大寫英語字母為頂點標號,用小寫英語字母表示邊,用阿拉伯數位表示角。

  • 中文名稱
    三角形
  • 外文名稱
    triangle
  • 面積公式
    S=ah除2
  • 周長公式
    C=a+b+c
  • 公式說明
    a是三角形的底,h是底所對應的高,b、c為兩腰

基本簡介

在同一平面內,由不在同一條直線的三條線段首尾相接所得的封閉圖形

三角形三個內角的和等于180度

三角形任何兩邊的和大于第三邊

三角形任意兩邊之差小于第三邊

三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和

按角度

a.銳角三角形:三個角都小于90度。

三角形

.直角三角形:簡稱Rt△(Right triangle),其中一個角等于90度。

c.鈍角三角形:其中一個角一定大于90度,鈍角大于九十度且小于一百八十度。

其中銳角三角形和鈍角三角形統稱為斜三角形。

按邊

不等邊三角形:3條邊都不相等。

等腰三角形:有2條邊相等。

等邊三角形:3條邊都相等。

判定方法

若一個三角形的三邊a,b,c ( a<b<c) 滿足

a^2+b^2>c², 則這個三角形是銳角三角形;

a^2+b^2=c^2, 則這個三角形是直角三角形;

a^2+b^2<c^2, 則這個三角形是鈍角三角形。

如圖如圖

主要特點

1.三角形的任意兩邊的和一定大于第三邊 ,由此亦可證明三角形的兩邊的差一定小于第三邊。

如圖如圖

2.三角形內角和等于180度 。

3.等腰三角形的頂角平分線,底邊的中線,底邊的高重合,即三線合一。

4.直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方--勾股定理。直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半。

5.三角形的外角(三角形內角的一邊與其另一邊的延長線所組成的角)等于與其不相鄰的兩個內角之和。

6. 三角形30度的角所對應的直角邊等于斜邊的一半

7.一個三角形的3個內角中最少有2個銳角。

8.三角形的三條角平分線交于一點,三條高線的所在直線交于一點,三條中線交于一點。

9.勾股定理逆定理:如果三角形的三邊長a,b,c有下面關系:a^2+b^2=c^2。那麽這個三角形就一定是直角三角形。

10.三角形的外角和是360°。

11.等底同高的三角形面積相等。

12.底相等的三角形的面積之比等于其高之比,高相等的三角形的面積之比等于其底之比。

13.三角形三條中線的長度的平方和等于它的三邊的長度平方和的3/4。

14.在△ABC中恆滿足tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC。

15.三角形的一個外角大于任何一個與它不相鄰的內角。

16.全等三角形對應邊相等,對應角相等。

17.在三角形中至少有一個角大于等于60度,也至少有一個角小于等于60度。(包括等邊三角形)

18.△ABC,恆有【tan(A/2)+tan(B/2)】【tan(A/2)+tan(C/2)】=【sec(A/2)】^2。

19.三角形的重心是三角形三條中線的交點。

20.三角形的內心是三角形三條內角平分線的交點。

21.三角形的外心是指三角形三條邊的中垂線的交點。

22.三角形的三條高所在直線的交點叫做三角形的垂心。

23.三角形的兩條外角平分線和另外一條內角平分線的交點叫做三角形的旁心。

24.三角形的任意一條中線將這個三角形分為兩個面積相等的三角形。

25.三角形具有穩定性,不易變形。

相關定理

中位線定理

三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半.

推論:經過三角形一邊中點且平行于另一邊的直線,必平分第三邊。

中線定理

三角形一條中線兩側所對邊平方和等于底邊的一半平方與該邊中線平方和的2倍。

三邊關系定理

三角形任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊.

勾股定理

勾股定理(畢達哥拉斯定理)內容為:在任何一個直角三角形中,兩條直角邊的長平方之和一定等于斜邊長的平 方。

幾何語言:若△ABC滿足∠ABC=90°,則AB^2+BC^2=AC^2;

勾股定理的逆定理也成立,即兩條邊長的平方之和等于第三邊長的平方,則這個三角形是直角三角形

幾何語言:

在△ABC中                                                               

∵AB²+BC²=CA²

∴∠ABC=90°

 

三角形

射影定理

射影定理歐幾裏得定理)內容為:在任何一個直角三角形中,作出斜邊上的高,則斜邊上的高的平方等于高所在斜邊上的點到不是兩直角邊垂足的另外兩頂點的線段長度的乘積。

幾何語言:若△ABC滿足∠ACB=90°,作CD⊥AB,則CD^2=AD×BD

射影定理的拓展:若△ABC滿足∠ACB=90°,作CD⊥AB,

(1)AC^2=AD·AB

(2)BC^2=BD·AB

(3)ACXBC=ABXCD

證明:射影定理可以由圓冪定理推出,拓展(3)可由前三式推出,也可以用等面積法證明

三角形

正弦定理

內容:在任何一個三角形中,每個角的正弦與對邊之比等于三角形面積的兩倍與三邊邊長和的乘積之比

幾何語言:在△ABC中,sinA/a=sinB/b=sinC/c=2S三角形/abc

結合三角形面積公式可以變形為a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R是外接圓半徑

餘弦定理

內容:在任何一個三角形中,任意一邊的平方等于另外兩邊的平方和減去這兩邊的2倍乘以它們夾角的餘弦

幾何語言:在△ABC中,a^2=b^2+c^2-2bc×cosA

此定理可以變形為:cosA=(b^2+c^2-a^2)÷2bc

梅涅勞斯定理

梅涅勞斯(Menelaus)定理是由古希臘數學家梅涅勞斯首先證明的。它指出:如果一條直線與△ABC的三邊AB、 BC、CA或其延長線交于F、D、E點,那麽(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1

證明:

過點A作AG∥BC交DF的延長線于G,

則AF/FB=AG/BD,BD/DC=BD/DC,CE/EA=DC/AG。

三式相乘得:AF/FB×BD/DC×CE/EA=AG/BD×BD/DC×DC/AG=1

它的逆定理也成立:若有三點F、D、E分別在的邊AB、BC、CA或其延長線上,且滿足(AF/FB)×(BD/DC)            ×(CE/EA)=1,則F、D、E三點共線。利用這個逆定理,可以判斷三點共線。

塞瓦定理

設O是△ABC內任意一點,

AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F,則 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

證法簡介

(Ⅰ)本題可利用梅涅勞斯定理證明:

∵△ADC被直線BOE所截,

∴ CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 ①

而由△ABD被直線COF所截,∴ BC/CD*DO/OA*AF/BF=1②

②÷①:即得:BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

(Ⅱ)也可以利用面積關系證明

∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③

同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤

③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

利用塞瓦定理證明三角形三條高線必交于一點:

設三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F,

根據塞瓦定理逆定理,因為(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA)/[(CD*ctgB)]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*                    [(BF*ctgC)/

[(AE*ctgB)]=1,所以三條高CD、AE、BF交于一點。

莫利定理

將三角形的三個內角三等分,靠近某邊的兩條三分角線相交得到一個交點,則這樣的三個交點可以構成一個正三角        形。這個三角形常被稱作莫利正三角形。

其他定理

內容:任意一個三角形中隨意兩條邊長度之和一定大于剩下那一條邊的長度。

三角函式

三角函式(Trigonometric)是數學中屬于初等函式中的超越函式的一類函式。它們的本質是任意角的集合與一       個比值的集合的變數之間的對應。通常的三角函式是在平面直角坐標系中定義的,其定義域為整個實數域。另一種       定義是在直角三角形中,但並不完全。現代數學把它們描述成無窮數列的極限和微分方程的解,將其定義擴展到復 數系。它由于三角函式的周期性,它並不具有單值函式意義上的反函式、但具有特殊的反三角函式(如: arcsin),三角函式在復數中有較為重要的套用。在物理學中,三角函式也是常用的工具。

三角函式種類

包含六種基本函式:正弦(sin)、餘弦(cos)、正切(tan)、餘切(cot)、正割(sec)、餘割(csc)。

銳角三角函式

在直角三角形ABC中,a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊,∠C為直角。則定義以下運算方式:

in A=∠A的對邊長/斜邊長,sin A記為∠A的正弦;sinA=a/c

cos A=∠A的鄰邊長/斜邊長,cos A記為∠A的餘弦;cosA=b/c

tan A=∠A的對邊長/∠A的鄰邊長, tanA=sinA/cosA=a/ b tan A記為∠A的正切;

當∠A為銳角時sin A、cos A、tan A統稱為“銳角三角函式”。

inA=cosB sinB=cosA

相關面積

直角三角形

解直角三角形需要用到勾股定理(弦)定理,又稱畢達哥拉斯定理或畢氏定理(Pythagoras Theorem)。數學公          式中常寫作a^2+b^2=c^2,其中a和b分別為直角三角形兩直角邊,c為斜邊。

勾股弦數是指一組能使勾股定理關系成立的三個正整數。比如:3,4,5。

常見的勾股弦數有:3,4,5;6,8,10;5,12,13;10,24,26;等等。

其中,互素的勾股數組成為基本勾股數組,例如:3,4,5;5,12,13;8,15,17等等

斜三角形

在三角形ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c. 則有

(1)正弦定理

a/SinA=b/SinB= c/SinC=2R (R為三角形外接圓半徑)。

(2)餘弦定理

a^2=b^2+c^2-2bc*CosA;

^2=a^2+c^2-2ac*CosB;

c^2=a^2+b^2-2ab*CosC。

備註:勾股定理其實是餘弦定理的一種特殊情況。

(3)餘弦定理變形公式

cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bc;

cosb=(a^2+c^2-b^2)/2ac;

cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab。

內角和

歐幾裏得的幾何體系中,三角形都是平面上的,所以三角形的內角和為180度;三角形的一個外角等于兩個          不相鄰的內角的和;三角形的一個外角大于其他兩內角的任一個角。(註:在非歐幾何中,三角形的內角和有可能        大于180度也有可能小于180度,此時的三角形也從平面也變為了球面或者偽球面)

證明:根據三角形的外角和等于內角可以證明,詳細參見《培優:走進三角形》

如何證明三角形的內角和等于180°

方法1:將三角形的三個角撕下來拼在一起,可求出內角和為180°。

方法2:在三角形任意一個頂點處做輔助線,可求出內角和為180°。

例題:已知有一△ABC,求證∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°

證明:做BC的延長線至點D,過點C作AB的平行線至點E

三角形

∵AB∥CE(已知)

∴∠ABC=∠ECD(兩直線平行,同位角相等),∠BAC=∠ACE(兩直線平行,內錯角相等)

∵∠BCD=180°

∴∠ACB+∠ACE+∠ECD=∠BCD=180°(等式的性質)

∴∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°(等量代換)

定義

兩個能夠完全重合的三角形稱為全等三角形

變化的方式

1.軸對稱。2.平移。3.旋轉。4.翻折。5.多種變換疊加。

全等的條件

1.兩個三角形對應的三條邊相等,兩個三角形全等,簡稱“邊邊邊”或“SSS"。

2.兩個三角形對應的兩邊及其夾角相等,兩個三角形全等,簡稱“邊角邊”或“SAS”。

3.兩個三角形對應的兩角及其夾邊相等,兩個三角形全等,簡稱“角邊角”或“ASA”。

4.兩個三角形對應的兩角及其一角的對邊相等,兩個三角形全等,簡稱“角角邊”或“AAS”。

5.兩個直角三角形對應的一條斜邊和一條直角邊相等,兩個直角三角形全等,簡稱“直角邊、斜邊”或“HL”。

註意,證明三角形全等沒有“SSA”或“邊邊角”的方法,即兩邊與其中一邊的對角相等無法證明這兩個三角形全等,          但從意義上來說,直角三角形的“HL”證明等同“SSA”。

五心坐標

三角形的五心、四圓、三點、一線

       這些是三角形的全部特殊點,以及基于這些特殊點的相關幾何圖形。“五        心”指重心(barycenter)、垂心、內心(incenter)、外心(circumcenter)        和旁心;“四圓”為內切圓、外接圓、旁切圓和歐拉圓;“三點”是勒莫恩點、奈        格爾點和歐拉點;“一線”即歐拉線。

三角形

以下記三角形的三個頂點為ABC,相應的對邊邊長為abc,系          數K(a) = -a^2+b^2+c^2,K(b)、K(c)類推。三線坐標各分量直接乘以相應          邊長即可轉換為面積坐標,以某點的面積坐標結合三頂點坐標計算該點平面          直角坐標的方法:記某點面積坐標為(μa,μb,μc),三分量之和為μ,則              有Px= (μa·Xa + μb·Xb + μc·Xc) / μPy類推。

名稱定義三線坐標
(內心坐標)
面積坐標
(重心坐標)
重心三條中線(頂點到對邊中點連線)的交點1/a: 1/b: 1/c1 : 1 : 1
垂心三條高(頂點到對邊的垂線)的交點sec A: sec B: sec C1/K(a) : 1/K(b) : 1/K(c) 或
tan(A) : tan(B) : tan(C)
內心三條內角平分線的交點1 : 1 : 1a: b: c
外心三邊中垂線的交點cos A: cos B: cos Ca^2·K(a) : b^2·K(b) : c^2·K(c)
旁心一內角平分線和另兩角外角平分線的交點-1 : 1 : 1,餘類推-a: b: c,餘類推

四圓

內切圓:以內心為圓心,以內心到邊的距離為半徑的圓,與三角形三邊都相切。

外接圓:以外心為圓心,以外心到頂點的距離為半徑的圓,三角形三個頂點都在圓周上。

旁切圓:以旁心為圓心,以旁心到邊的距離為半徑的圓,與三角形一邊及另兩邊延長線相切。

歐拉圓:又稱“九點圓”,即3個歐拉點、三邊中點和三高垂足九點共圓。九點圓圓心為垂心與外心連線中點,三線          坐標為:cos(B - C) : cos(C- A) : cos(A - B),半徑為外接圓半徑的一半。內切圓與歐拉圓在某一歐拉點相切。

三點

名稱定義三線坐標
勒莫恩點三個頂點與內切圓切點連線的交點,又稱類似重心a: b: c
奈格爾點三個頂點與旁切圓切點連線的交點,又稱界心csc^2(A/2) : csc^2(B/2): csc^2(C/2)
歐拉點三個頂點到垂心連線的中點,又稱費爾巴哈點cos(B-C) : cos(C-A) : cos(A-B)

一線

垂心、重心、外心和九點圓圓心四點共線,這條直線稱為歐拉線。

界心(不常見)

三角形三條周界中線的交點叫做三角形的界心。

三角形界心性質:設點D、E、F分別為⊿ABC的BC、CA、AB邊上的周界中點,R、r分別為⊿ABC的

外接圓和內切圓的半徑,則

(1)S⊿DEF/S⊿ABC=r/2R;

(2)S⊿DEF≤S⊿ABC/4。

五心的距離

OH^2=9R^2 – (a^2+b^2+c^2),

OG^2=R^2 – (a^2+b^2+c^2)/9,

OI^2=R^2 – abc/(a+b+c)=R^2 – 2Rr

GH^2=4OG^2

GI^2=(p^2+5r^2 – 16Rr)/9,

HI^2=4R^2-p^2+3r^2+4Rr=4R^2+2r^2-(a^2+b^2+c^2)/2,

穩定性

三角形的穩定性是指隻要三角形三邊的長度確定,這個三角形的形狀和大小就完全確定的性質。

證明

任取三角形兩條邊,則兩條邊的非公共端點被第三條邊連線。

∵第三條邊不可伸縮或彎折 ,

三角形

∴兩端點距離固定 ,

∴這兩條邊的夾角固定;

∵這兩條邊是任取的 ,

∴三角形三個角都固定,進而將三角形固定,

∴三角形有穩定性 。

任取n邊形(n≥4)兩條相鄰邊,則兩條邊的非公共端點被不止一條邊連線

∴兩端點距離不固定 ,

∴這兩邊夾角不固定 ,

∴n邊形(n≥4)每個角都不固定,所以n邊形(n≥4)沒有穩定性。

作用

三角形的穩定性使其不像四邊形那樣易于變形,有著穩固、堅定、耐壓的特點。三角形結構的在工程上有廣泛的套用。許多建築都是三角形的結構,如:埃菲爾鐵塔。金字塔等等。

邊角關系

(1)三角形三內角和等于180°,這個定理的證明方法有很多種(即輔助線的做法),體現了幾何中的一題多解的思維方法,這也是幾何與眾不同的地方。

(2)三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角之和。

(3)三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。

(4)三角形兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊。

(5)在同一個三角形內,大邊對大角,大角對大邊。

(6)三角形中的四條特殊的線段:角平分線,中線,高,中位線。

(註①:等腰三角形中,頂角平分線,中線,高三線互相重疊;

②:三角形的中位線是兩邊中點的連線,它平行于第三邊且等于第三邊的一半)

(7)三角形的角平分線的交點叫做三角形的內心,它是三角形內切圓的圓心,它到各邊的距離相等.

(8)三角形的外接圓圓心,即外心,是三角形三邊的垂直平分線的交點,它到三個頂點的距離相等。

(9)三角形的三條中線的交點叫三角形的重心,它到每個頂點的距離等于它到對邊中點的距離的2倍。

(10)三角形的三條高的交點叫做三角形的垂心。

(11)三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的1/2。

(12)三角形的一邊與另一邊延長線的夾角叫做三角形的外角。

註意:①三角形的內心、重心都在三角形的內部 。

②鈍角三角形垂心、外心在三角形外部。(三條高的延長線交于一點,在三角形的外部)

③直角三角形垂心、外心在三角形的邊上。(直角三角形的垂心為直角頂點,外心為斜邊中點。)

④銳角三角形垂心、外心在三角形內部。

三角形兩邊之和大于第三邊兩邊之差小于第三邊的一則套用:

《周長固定三角形面積的最大值》

——數學建模一例

談到,周長固定圍成面積的問題,許多人會想到正方形和二次函式。好吧,就從矩形開始吧!問題是這樣的,說有一根長度固定為L的繩子,現在要圍成一個矩形,問:什麽樣的矩形面積才是最大的?

首先,我們要建立數學模型!那麽什麽是矩形呢?它有些什麽性質呢?初等幾何說:有一個角位直角(90°或者π/2)的平行四邊形,叫做矩形。那麽什麽是平行四邊形呢?它有些什麽性質呢?幾何又說:兩組對邊分別平行的四邊形,叫做平行四邊形。其中,平行四邊形有一條重要的性質:平行四邊形的對邊相等。

現在我們對矩形也有一個印象了。簡單來說是一個,四條互相垂直的線段組成的東西。而且我們知道它的面積公式:s=a*b,由平行四邊形的性質:平行四邊形的對邊相等。可知它的周長公式:L=2*(a + b)。

有了這些,就可以建模分析了:首先,我們分析L=2*(a + b),經過簡單的變形處理(+、-、*、/)有:b=L/2-a 要註意條件,a是不為0的,即(a>0)。現在,把b=L/2-a 代入s=a*b就有:s=a*( L/2-a)= -a^2+ (L/2) *a (a>0);這是關于a的一個二次函式,並且A=-1<0,函式s有最大值。

微積分的解法:因為:s= -a^2+ (L/2) *a (a>0),所以s`=-2a+L/2 (a>0)令s`=0有:2a= L/2所以a= L/4。

所以Smax = L/4(L/2- L/4)= L^2/16 max:最大值 b=a= L/4 (此時,矩形為正方形)

也可以用不等式:因為 (a - b)^2≥0,又因(a - b)^2=(a + b)^2-4ab,所以有:(a + b)^2-4ab≥0 即a*b≤(a + b)^2/4 當a=b,去“=”,s有最大值

因為:a + b= L/2,s=a*b 所以:s≤(L/2)^2/4= L^2/16。

現在,來談一談周長固定三角形面積的問題,說有一根長度固定為L的繩子,現在要圍成一個三角形,問:什麽樣的三角形面積才是最大的?

好像,一般三角形的性質並不多,一個三邊關系定理:三角形兩邊之和大于第三邊。和一個內角和定理:三角形三個內角的和等于180°。還有個推論:三角形兩邊之差小于第三邊。

不妨設繩子L,圍成的三角形一邊為x,則另外兩邊之和為L-x。根據三邊關系定理有:x<L-x,于是有:(0<x<L/2) 物理學中在處理問題時,不是常用控製變數法嗎!我們何不使用呢?假設x為一個常量,則L-x 也為常量。且x<L-x 總成立,滿足解析幾何中橢圓的定義:2a= L-x, 2c=x,且有:2a>2c。可以,以2c=x的中點建立坐標系,則:a^2= (L-x/2)^2 ,b^2= (L-x/2)^2-(x/2)^2=L(L-2x)/。

所以橢圓方程為:X^2/(L-x/2)^2 +Y^2/ L(L+2x)/4=1,三角形的面積為:s=(1/2)*( 2c)*Y ,因為,x=2c是固定的,所以s取決于Y,當Y取max時,即Y=b時,s有最大值。

三角形 三角形

即:S=s(x)max (且此時,該三角形為等要三角形)

=c*[(L^2-2Lx)/4]^1/2

=(1/4)*x(L^2-2Lx)^1/2(0<x<L/2)

現在,我們得到了一個關于s最大值的函式,或者說以最大值s為自變數的函式S=s(x),可以說我們的目標是,函式最大值的最大值!Smax=max[s(x)max],剩下的就是微積分的技巧了,對S=s(x)max,求導:S`= -LX/(L^2-2Lx)^1/2 +(L^2-2Lx)^1/2令S`=0 有:LX/(L^2-2Lx)^1/2 =(L^2-2Lx)^1/2 ,則LX= L^2-2Lx 解之得:x=L/3,且有,x=L/3<L/2 滿足三角形條件。

此時的三角形是一個正三角形!Smax=max[s(x)max]=(3^1/2)*L^2/36,此模型的思想有點類似變分法,函式的函式(泛函),但還是有本質的差別。

也可以用海倫公式s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2,其中p=(a+b+c)/2。用不等式來解決!或者用二元函式的偏導及拉格朗日乘法,來解解決也行。

不要以為,海倫公式s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2 比微積分簡單一些,前提是你必須知道這個公式,而且能夠證明!我就給大家一個證明,這是我在分解因式中,遇到較麻煩的一次!

要證明海倫公式s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2,首先,要知道餘弦定理:

a^2=b^2+c^2-2bccosA,

三角形

則有:cosA=( b^2+c^2- a^2)/2bc

所以,sinA={1-[( b^2+c^2- a^2)/2bc]^2}^1/2

={[( a^2+b^2+c^2)^2 – 2( a^4+b^4+c^4)]/(2bc)^2}^1/2

又因為,三角形面積公式:

=(1/2)*bcsinA

=(1/2)*bc*{[( a^2+b^2+c^2)^2 – 2( a^4+b^4+c^4)]/(2bc)^2}^1/2

=(1/4)* [( a^2+b^2+c^2)^2 – 2( a^4+b^4+c^4)] ^1/2(與角度A並無直接關系)

又 ∵ [( a^2+b^2+c^2)^2 – 2( a^4+b^4+c^4)

=2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2- a^4-b^4-c^4

=b^2c^2+a^2c^2-b^4-a^4+2a^b^2+ a^2c^2+ b^2c^2- c^4

= b^2c^2-2abc^2+a^2c^2-(b^4+a^4-2a^b^2)+ a^2c^2+ b^2c^2+2abc^2- c^4 (配方)

=c^2(b^2-2ab+a^2)-(b^2-a^2)+ c^2(b^2+2ab+a^2)-c^4

= c^2(b-a)^2-[(b+a)(b-a)]^2+ c^2(b+a)^2-c^4

= c^2(b-a)^2-c^4-(b+a)^2(b-a)^2+ c^2(b+a)^2(分解因式)

= c^2[(b-a)^2-c^2]-(b+a)^2[(b-a)^2-c^2]

= [(b-a)^2-c^2]*[c^2-(b+a)^2] (提公因式)

=-[(b-a)^2-c^2]*[(b+a)^2-c^2]

=[(b+a)^2-c^2]*(-1)* [(b-a)^2-c^2]

=[(b+a)^2-c^2]*(-1)(b-a+c)*(b-a-c)

=[(b+a)^2-c^2]*(b-a+c)*(a+c-b)

=(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)

∴ s=(1/4)[ (a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)]^1/2

=[(a+b+c)/2 *(a+b-c)/2 * (b+c-a)/2* (a+c-b)/2]^1/2

={[(a+b+c)/2 ]*[(a+b+c)/2- c]*[ (b+c+a)/2 –b]*[ (a+c+b)/2-a] }^1/2

在令:p=(a+b+c)/2

就得到海倫公式:s=[p(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2

有了此公式,在利用不等式,問題就可以解決了。

需要知道的一個不等式:(a+b+c)^3 /27≥abc (a,b,c均為正數,當a=b=c時,取“=”)

∵ (p-a)*(p-b)*(p-c)≤[3p-(a+b+c)]^3 /27,又∵2p=a+b+c;

∴ (p-a)*(p-b)*(p-c)≤p3 /27

則有:[(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2≤p(p)^1/2 /3(3)^1/2

所以:p^1/2[(p-a)*(p-b)*(p-c)]^1/2≤p2 /3(3)^1/2

即:s≤(3^1/2 /36) p2,當p-a=p-b=p-c,即,a=b=c時,取“=”s有最大值(3^1/2 /36) L^2

(2006全國卷l理科第11題)用長度分別為2、3、4、5、6(單位:㎝)的5根細棒圍成一個三角形(允許連線,但不許折斷),能夠得到的三角形的最大面積是…… ( B)

A 8*5^1/2 B 6*10^1/2 C 3*55^1/2 D 20

分析:首先,這幾個整數成等差數列,公差為1,它們的和為20。現在,要把這5個數任意的分成3組,然後圍成三角形,最後找出這些三角形中面積最大的一個。

如果,真的去分組,在統計比較,時間上顯然不夠!這個時候就需要你會建立,數學模型了,並且能夠轉化數學。把離散組合,轉化為連續的數學。

數學家在研究問題時,往往關註一些變中不變的東西,那往往是大規律、大道理,不以人的意志為之轉移,帶有根本性的。把這5個數任意的分成3組,然後圍成三角形。無論怎麽變化,有一條是不變的:它們的和為20;于是要解決的問題就是:當三角形周長固定時:什麽樣的三角形面積才是最大的?

上面研究過,正三角形的面積最大,並且由

S=s(x)max (且此時,該三角形為等腰三角形)

=(1/4)*x(L^2-2Lx)^1/2(0<x<L/2)

的函式圖像可知,x在區間[0,L/3]]為增函式,在(L/3,L/2] 為減函式。所以,當三角形周長固定時:越接近正三角形形狀的三角形面積越大!20/3≈6.6667,顯然這裏的5個數是組合不成6.6667的,隻能退而求其次了,我們發現(猜出來的):(2+5)、(3+4)、6的組合是最接近正三角形的,所以它的面積最大。經過簡單的計算,就知道結果了:B 6*10^1/2

我們在來做一件事,比較一下周長固定的面積最大的矩形與三角形的面積:L^2/16與(3^1/2 /36) L2。為了方便比較,把它們換為小數:0.0625L^2與0.048112522L^2 我們發現四邊形(正方形)的面積要大一些!根據這中經驗,是否可以數學歸納,提出猜想1:在平面內曲線周長固定時,圓的面積最大!猜想2:在平面內曲線周長固定時,圍成的n邊形中,正n邊形的面積最大。

事實上,第一個猜想是正確的,不過需要變分法來處理。同樣需要微積分來研究,不過是高等微積分了。

特殊三角形

1.相似三角形

(1)形狀相同但大小不同的兩個三角形叫做相似三角形

(2)相似三角形性質

相似三角形對應邊成比例,對應角相等

相似三角形對應邊的比叫做相似比

相似三角形的周長比等于相似比,面積比等于相似比的平方

相似三角形對應線段(角平分線、中線、高)之比等于相似比

(3)相似三角形的判定

【1】如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例,那麽這兩個三角形相似(簡稱:三邊對應成比例的兩個三角形相似)。

【2】如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應成比例,並且夾角相等,那麽這兩個三角形相似(簡稱:兩邊對應成比例且其夾角相等的兩三角形相似)。

【3】如果一個三角形的兩個角分別與另一個三角形的兩個角對應相等,那麽這兩個三角形相似(簡稱:兩角對應相等的兩三角形相似)。

【4】如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例,那麽這兩個三角形相似。

2.等腰三角形

等腰三角形的性質:

(1)兩底角相等;

(2)兩條腰相等 ;

(3)頂角的角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合(簡稱:三線合一);

等腰三角形的判定:

(1)等角對等邊;

(2)兩底角相等;

(巧用:在特定題目中,等腰三角形,平行,角平分線這三量,知二可推另一)

3.等邊三角形

等邊三角形的性質:

(1)頂角的角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合(簡稱:三線合一);

(2)等邊三角形的各角都相等,並且都等于60°;

(3)四心重合(重心、垂心、外心、內心)。

等邊三角形的判定:

(1)三個內角或三個對應位置的外角都相等的三角形是等邊三角形;

(2)有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。

面積公式

(1)S△=1/2*ah(a是三角形的底,h是底所對應的高)

(2)S△=1/2acsinB=1/2bcsinA=1/2absinC(三個角為∠A∠B∠C,對邊分別為a,b,c,參見三角函式)

(3)S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] [p=1/2(a+b+c)](海倫—秦九韶公式)

(4)S△=abc/(4R) (R是外接圓半徑

(5)S△=[(a+b+c)r]/2 (r是內切圓半徑)

(6) | a b 1 |S△=1/2 | c d 1 | | e f 1 |

三角形

[| a b 1 | ….| c d 1 | …。| e f 1 |為三階行列式,此三角形ABC在平面直角坐標系內A(a,b),B(c,d),C(e,f),這裏ABC選區取最好按逆時針順序從右上角開始取,因為這樣取得出的結果一般都為正值,如果不按這個規則取,可能會得到負值,但隻要取絕對值就可以了,不會影響三角形面積的大小]

(7)S△=c^2sinAsinB/2sin(A+B)

(8)S正△= [(√3)/4]a^2 (正三角形面積公式,a是三角形的邊長)

公式說明

一般用大寫英語字母A、B 和 C 為頂點標號。用小寫英語字母 a 、b 和 c 表示邊;α 、β 和 γ或者頂點標號表示角。

套用實例

平行于Bc的直線DE把三角形ABC分成兩部分面積相等,試確定點D的位置。

解:

因為BC平行于DE,所以三角形ABC與ADE相似

設ABC高h,ADE高p

那麽有BC:DE=h:p

設比值為x

三角形ABC面積為BC*h/2

三角形ADE面積每DE*p/2

因為DE把三角形ABC分成的兩部分面積相等

所以三角形ADE面積是ABC的一半有DE*p=BC*h/2

那麽(DE*p):(BC*h)=1:2

因為BC:DE=h:p=x

所以有

(DE*p):(DE*x*p*x)=1:2

(DE*P):[(DE*p)*(DE*p)*x*x]=1:2

x=(√2)/2

即AD=((√2)/2)*AB

或AE=((√2)/2)*AC

相關介紹

三角形中的重要線段

中線:頂點與對邊中點的連線,平分三角形的面積。

高:從三角形的一個頂點(三角形任意兩條邊的交點)向其對邊所作的垂線段(頂點至對邊垂足間的線段),叫做三角形的高。

角平分線:平分三角形的其中一個角的線段叫做三角形的角平分線,它到兩邊距離相等。(註:一個角的平分線是射線,平分線的所在直線是這個角的對稱軸)

中位線:任意兩邊中點的連線。

三角形全等的條件註意:隻有三個角相等無法推出兩個三角形全等,也不可以用“SSA”

(1)三邊對應相等的兩個三角形全等,簡寫為“SSS”。

(2)兩角和它們的夾邊對應相等的兩個三角形全等,簡寫成“ASA”。

(3)兩角和其中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等,簡寫成“AAS”。

(4)兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等,簡寫成“SAS”。

(5)斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等,簡寫成“HL”。

全等三角形的性質  

全等三角形的對應角相等,對應邊也相等。    

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