三角函式

三角函式

三角函式(也叫做圓函式)是角的函式;它們在研究三角形和建模周期現象和許多其他套用中是很重要的。三角函式通常定義為包含這個角的直角三角形的兩個邊的比率,也可以等價的定義為單位圓上的各種線段的長度。更現代的定義把它們表達為無窮級數或特定微分方程的解,允許它們擴展到任意正數和負數值,甚至是復數值。
  • 中文名稱
    三角函式
  • 外文名稱
    trigonometric function
  • 創始人
    歐拉

​級數定義

隻使用幾何極限的性質,可以證明正弦的導數是餘弦,餘弦的導數是負的正弦。(在微積分中,所有角度都以弧度來度量)。我們可以接著使用泰勒級數的理論來證明下列恆等式對于所有實數x都成立:

這些恆等式經常被用做正弦和餘弦函式的定義。它們經常被用做三角函式的嚴格處理和套用的起點(比如,在傅裏葉級數中),因為無窮級數的理論可從實數系的基礎上發展而來,不需要任何幾何方面的考慮。這樣,這些函式的可微性和連續性便可以單獨從級數定義來確立。

三角函式

其他級數可見于:

註:Un是n次上/下數,

三角函式

Bn是n次伯努利數,

基本定義

銳角三角函式

如右圖,當平面上的三點A、B、C的連線,AB、AC、BC,構成一個直角三角形,其中∠ACB為直角。對于AB與AC的夾角∠BAC而言:

對邊(opposite)a=BC

三角函式

斜邊(hypotenuse)h=AB

鄰邊(adjacent)b=AC

基本函式英文縮寫表達式
語言描述

正弦函式Sinesina/h
∠A的對邊比斜邊
餘弦函式cosinecosb/h
∠A的鄰邊比斜邊
正切函式Tangenttana/b
∠A的對邊比鄰邊
餘切函式Cotangentcotb/a
∠A的鄰邊比對邊
正割函式Secantsech/b
∠A的斜邊比鄰邊
餘割函式Cosecantcsch/a
∠A的斜邊比對邊 
三角函式

罕見三角函式

除了上述六個常見的函式,還有一些不常見的三角函式:

三角函式
函式名與常見函式轉化關系
正矢函式versinθ=1-cosθ

vercosinθ=1+cosθ
餘矢函式coversinθ=1-sinθ

covercosinθ=1+sinθ
半正矢函式haversinθ=(1-cosθ)/2

havercosinθ=(1+cosθ)/2
半餘矢函式hacoversinθ=(1-sinθ)/2

hacovercosinθ=(1+sinθ)/2
外正割函式exsecθ=secθ-1
外餘割函式excscθ=cscθ-1

任意角三角函式

如圖:在平面直角坐標系中設O-x為任意角α的始邊,在角α終邊上任取一點P(x,y),令OP=r.

三角函式

sinα=y/r secα=r/x

cosα=x/r cscα=r/y

tanα=y/x cotα=x/y

單位圓定義

六個三角函式也可以依據半徑為1中心為原點的單位圓來定義。單位圓定義在實際計算上沒有大的價值;實際上對多數角它都依賴于直角三角形。但是單位圓定義的確允許三角函式對所有正數負數輻角都有定義,而不隻是對于在 0 和 π/2 弧度之間的角。它也提供了一個圖像,把所有重要的三角函式都包含了。根據勾股定理,單位圓的方程是:x2+y2=1

三角函式

圖像中給出了用弧度度量的一些常見的逆時針方向的度量是正角,而順時針的度量是負角。設一個過原點的線,同 x軸正半部分得到一個角 θ,並與單位圓相交。這個交點的 xy坐標分別等于cosθ和sinθ。圖像中的三角形確保了這個公式;半徑等于斜邊且長度為1,所以有 sinθ= y/1 和 cosθ= x/1。單位圓可以被視為是通過改變鄰邊和對邊的長度,但保持斜邊等于 1的一種查看無限個三角形的方式。

對于大于 2π 或小于等于2π 的角度,可直接繼續繞單位圓旋轉。在這種方式下,正弦和餘弦變成了周期為 2π的周期函式:對于任何角度 θ和任何整數k

周期函式最小正周期叫做這個函式的“基本周期”。正弦、餘弦、正割或餘割的基本周期是全圓,也就是 2π 弧度或 360°;正切或餘切的基本周期是半圓,也就是 π 弧度或 180°。上面隻有正弦和餘弦是直接使用單位圓定義的,其他四個三角函式的定義如圖所示。

在正切函式的圖像中,在角 kπ 附近變化緩慢,而在接近角 (k+ 1/2)π 的時候變化迅速。正切函式的圖像在 θ = (k+ 1/2)π 有垂直漸近線。這是因為在 θ 從左側接進 (k+ 1/2)π 的時候函式接近正無窮,而從右側接近 (k+ 1/2)π 的時候函式接近負無窮。

另一方面,所有基本三角函式都可依據中心為 O的單位圓來定義,類似于歷史上使用的幾何定義。特別 是,對于這個圓的AB,這裏的 θ 是對向角的一半,sin θAC(半弦),這是印度的阿耶波多介入的定義。cosθ 是水準距離 OC,versin θ=1-cosθCD

三角函式

tanθ是通過 A的切線的線段AE的長度,所以這個函式才叫正切。cotθ是另一個切線段 AF。 secθ=OE和 cscθ=OF是割線(與圓相交于兩點)的線段,所以可以看作 OA沿著 A 的切線分別向水準和垂直軸的投影DE是 exsecθ= secθ-1(正割在圓外的部分)。通過這些構造,容易看出正割和正切函式在 θ 接近 π/2的時候發散,而餘割和餘切在 θ 接近零的時候發散。

公式起源

三角學”,英文Trigonometry,法文Trigonometrie,德文Trigonometrie,都來自拉丁文 Trigonometria。現代三角學一詞最初見于希臘文。最先使用Trigonometry這個詞的是皮蒂斯楚斯( Bartholomeo Pitiscus,1516-1613),他在1595年出版一本著作《三角學:解三角學的簡明處理》,創造了這個新詞。它是由τριγωυου(三角形)及μετρει υ(測量)兩字構成的,原意為三角形的測量,或者說解三角形。古希臘文裏沒有這個字,原因是當時三角學還沒有形成一門獨立的科學,而是依附于天文學。因此解三角形構成了古代三角學的實用基礎。

早期的解三角形是因天文觀測的需要而引起的。還在很早的時候,由于墾殖和畜牧的需要,人們就開始作長途遷移;後來,貿易的發展和求知的欲望,又推動他們去長途旅行。在當時,這種遷移和旅行是一種冒險的行動。人們穿越無邊無際、荒無人煙的草地和原始森林,或者經水路沿著海岸線作長途航行,無論是那種方式,都首先要明確方向。那時,人們白天拿太陽作路標,夜裏則以星星為指路燈。太陽和星星給長期跋山涉水的商隊指出了正確的道路,也給那些沿著遙遠的異域海岸航行的人指出了正確的道路。

就這樣,最初的以太陽和星星為目標的天文觀測,以及為這種觀測服務的原始的三角測量就應運而生了。因此可以說,三角學是緊密地同天文學相聯系而邁出自己發展史的第一步的。

公元五世紀到十二世紀,印度數學家對三角學作出了較大的貢獻。盡管當時三角學仍然還是天文學的一個計算工具,是一個附屬品,但是三角學的內容卻由于印度數學家的努力而大大的豐富了。

三角學中”正弦”和”餘弦”的概念就是由印度數學家首先引進的,他們還造出了比托勒密更精確的正弦表。

我們已知道,托勒密和希帕克造出的弦表是的全表,它是把圓弧同弧所夾的弦對應起來的。印度數學家不同,他們把半弦(AC)與全弦所對弧的一半(AD)相對應,即將AC與∠AOC對應(如圖五 ),這樣,他們造出的就不再是”全弦表”,而是”正弦表”了。

印度人稱連結(AB)的兩端的弦(AB)為”吉瓦”,是弓弦的意思;稱AB的一半(AC) 為”阿爾哈吉瓦”。後來”吉瓦”這個詞譯成阿拉伯文時被誤解為”彎曲”、”凹處”,阿拉伯語是 ”dschaib”。十二世紀,阿拉伯文被轉譯成拉丁文,這個字被意譯成了”sinus”。

三角學問題的提出

三角學理論的基礎,是對三角形各元素之間相依關系的認識。一般認為,這一認識最早是由希臘天文學家獲得的。古希臘三角術的奠基人是公元前2世紀的喜帕恰斯。他按照古巴比倫人的做法,將圓周分為360等份(即圓周的弧度為360度,與現代的弧度製不同)。對于給定的弧度,他給出了對應的弦的長度數值,這個記法和現代的正弦函式是等價的。喜帕恰斯實際上給出了最早的三角函式數值表。然而古希臘的三角學基本是球面三角學。這與古希臘人研究的主體是天文學有關。

當時,希臘天文學家為了正確地測量天體的位置。研究天體的運行軌道,力求把天文學發展成為一門以精確的觀測和正確的計算為基礎之具有定量分析的科學。他們給自己提出的第一個任務是解直角三角形,因為進行天文觀測時,人與星球以及大地的位置關系,通常是以直角三角形邊角之間的關系反映出來的。在很早以前,希臘天文學家從天文觀測的經驗中獲得了這樣一個認識:星球距地面的高度是可以通過人觀測星球時所採用的角度來反映的(如圖一);角度(∠ABC)越大,星球距地面(AC)就越高。

梅涅勞斯在他的著作《球面學》中使用了正弦來描述球面的梅涅勞斯定理。古希臘三角學與其天文學的套用在埃及的托勒密時代達到了高峰,托勒密在《數學匯編》(Syntaxis Mathematica)中計算了36度角和72度角的正弦值,還給出了計算和角公式和半角公式的方法。托勒密還給出了所有0到180度的所有整數和半整數弧度對應的正弦值。

古希臘文化傳播到古印度後,古印度人對三角術進行了進一步的研究。公元5世紀末的數學家阿耶波多提出用弧對應的弦長的一半來對應半弧的正弦,這個做法被後來的古印度數學家使用,和現代的正弦定義一致了。阿耶波多的計算中也使用了餘弦和正割。他在計算弦長時使用了不同的單位,重新計算了0到90度中間隔三又四分之三度(3.75°)的三角函式值表。然而古印度的數學與當時的中國一樣,停留在計算方面,缺乏系統的定義和演繹的證明。阿拉伯人也採用了古印度人的正弦定義,但他們的三角學是直接繼承于古希臘。阿拉伯天文學家引入了正切餘切正割餘割的概念,並計算了間隔10分(10′)的正弦和正切數值表。到了公元14世紀,阿拉伯人將三角計算重新以算術方式代數化(古希臘人採用的是建立在幾何上的推導方式)的努力為後來三角學從天文學中獨立出來,成為了有更廣泛套用的學科奠定了基礎。

獨立三角學的產生

雖然後期的阿拉伯數學家已經開始對三角學進行專門的整理和研究,他們的工作也可以算作是使三角學從天文學中獨立出來的表現,但是嚴格地說,他們並沒有創立起一門獨立的三角學。真正把三角學作為數學的一個獨立學科加以系統敘述的,是德國數學家雷基奧蒙坦納斯。

雷基奧蒙坦納斯是十五世紀最有聲望的德國數學家約翰●謬勒的筆名。他生于哥尼斯堡,年輕時就積極從事歐洲文藝復興時期作品的收集和翻譯工作,並熱心出版古希臘和阿拉伯著作。因此對阿拉伯數學家們在三角方面的工作比較了解。

1464年,他以雷基奧蒙坦納斯的名字發表了《論各種三角形》。在書中,他把以往散見在各種書上的三角學知識,系統地綜合了起來,成了三角學在數學上的一個分支。

三角函式

中世紀末期

進入15世紀後,阿拉伯數學文化開始傳入歐洲。隨著歐洲商業的興盛,航行、歷法測定和地理測繪中出現了對三角學的需求。在翻譯阿拉伯數學著作的同時,歐洲數學家開始製作更詳細精確的三角函式值表。哥白尼的學生喬治·約阿希姆·瑞提克斯製作了間隔10秒(10″)的正弦表,有9位精確值。瑞提克斯還改變了正弦的定義,原來稱弧對應的弦長是正弦,瑞提克斯則將角度對應的弦長稱為正弦。16世紀後,數學家開始將古希臘有關球面三角的結果和定理轉化為平面三角定理。弗朗索瓦·韋達給出了托勒密的不少結果對應的平面三角形式。他還嘗試計算了多倍角正弦的表達方式。

現代三角學的確認

18世紀開始,隨著解析幾何等分析學工具的引進,數學家們開始對三角函式進行分析學上的研究。牛頓在1669年的《分析學》一書中給出了正弦和餘弦函式的無窮級數表示。Collins將牛頓的結果告訴了詹姆斯·格列高裏,後者進一步給出了正切等三角函式的無窮級數。萊布尼茲在1673年左右也獨立得到了這一結果。

十八世紀,所有的三角量:正弦、餘弦、正切、餘切、正割和餘割,都始終被認為是已知圓內與同一條弧有關的某些線段,即三角學是以幾何的面貌表現出來的,這也可以說是三角學的古典面貌。三角學的現代特征,是把三角量看作為函式,即看作為是一種與角相對應的函式值。這方面的工作是由歐拉作出的。1748年,歐拉發表著名的《無窮小分析引論》(Introductio in Analysin Infinitorum,1748年)對建立三角函式的分析處理做了最主要的貢獻,他指出:”三角函式是一種函式線與圓半徑的比值”。具體地說,任意一個角的三角函式,都可以認為是以這個角的頂點為圓心,以某定長為半徑作圓,由角的一邊與圓周的交點P向另一邊作垂線PM後,所得的線段OP、OM、MP(即函式線)相互之間所取的比值(如圖八),sinα=MP/OP,cosα=OM/OP,tanα= MP/OM等。若令半徑為單位長,那麽所有的六個三角函式又可大為簡化。他還定義三角函式為無窮級數,並表述了歐拉公式,還有使用接近現代的簡寫sin.cos.tang.cot.sec.cosec.

歐拉的這個定義是極其科學的,它使三角學從靜態地隻是研究三角形解法的狹隘天地中解脫了出來,使它有可能去反映運動和變化的過程,從而使三角學成為一門具有現代特征的分析性學科。正如歐拉所說,引進三角函式以後,原來意義下的正弦等三角量,都可以脫離幾何圖形去進行自由的運算。一切三角關系式也將很容易地從三角函式的定義出發直接得出。這樣,就使得從希帕克起許多數學家為之奮鬥而得出的三角關系式,有了堅實的理論依據,而且大大地豐富了。嚴格地說,這時才是三角學的真正確立。

弦表的發明

星球的高度與人觀測的角度之間在數量上究竟怎麽樣呢?能不能把各種不同的角度所反映的星球的高度都一一算出來呢?這就是天文學向數學提出的第一個課題-製造弦表。根據認識,弦表的製作似應該是由一系列不同的角出發,去作一系列直角三角形,然後一一量出AC,A’C’,A’’C’’…之間的距離。

然而,第一張弦表製作者希臘文學家希帕克 (Hipparchus,約前180~前125)不是這樣作,他採用的是在同一個固定的內,去計算給定度數的圓弧AB所對應的弦AB的長(如圖三)。這就是說,希帕克是靠計算,而不是靠工具量出弦長來製表的,這正是他的卓越之處。希帕克的原著早已失傳,我們所知關于希帕克在三角學上的成就,是從公元二世紀希臘著名天文學家托勒密的遺著《天文集》中得到的。雖然托勒密說他的這些成就出自希帕克,但事實上不少是他自己的創造。

三角函式

據托勒密書中記載,為了度量圓弧與弦長,他們採用了巴比倫人的60進位法。把圓周360等分,把它的半徑60等分,在圓周和半徑的每一等分中再等分60份,每一小份又等分為60份,這樣就得出了托勒密所謂的第一小份和第二小份。很久以後,羅馬人把它們分別取名為”partes minutae primae”和”partes minutae secundae”;後來,這兩個名字演變為”minute”和”second”,成為角和時間的度量上””和””這兩個單位得起源。

建立了半徑與圓周的度量單位以後,希帕克托勒密先著手計算一些特殊圓弧所對應的弦長。比如 60°弧(1/6圓周長)所對的弦長,正好是內接正六邊形的邊長,它與半徑相等,因此得出60°弧對應的弦值是60個半徑單位(半徑長的1/60為一個單位);用同樣的方法,可以算出120°弧、90°弧以及72°弧所對應的弦值(如圖四)。有了這些弧所對應的弦值,接著就利用所稱的”托勒密定理”,來推算兩條已知所對弦長的弧的”和”與”差”所對的弦長,以及由一條弧所對的弦長來計算這條弧的一半所對的弦長。正是基于這樣一種幾何上的推算。他們終于造出了世界上第一張弦表。所謂弦表,就是在保持AB不變的情況下可以供查閱的表 (如圖二),AC的長度與∠ABC的大小之間的對應關系。

傳入中國

三角學輸入中國,開始于明崇禎4年(1631年),這一年,鄧玉函湯若望徐光啓合編《大測》,作為歷書的一部份呈獻給朝廷,這是我國第一部編譯的三角學。在《大》中,首先將sine譯為”正半弦”,簡稱”正弦”,這就成了“正弦”一詞的由來。

正弦餘弦

餘弦

對于任意三角形,任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的餘弦的兩倍積,若三邊為a,b,c 三角為A,B,C ,則滿足性質——

a² = b^2 + c^2 - 2·b·c·cosA

b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·cosB

c^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cosC

cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a·b)

cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2·a·c)

cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b·c)

(物理力學方面的平行四邊形定則中也會用到)

第一餘弦定理(任意三角形射影定理)

設△ABC的三邊是a、b、c,它們所對的角分別是A、B、C,則有

a=b·cos C+c·cos B, b=c·cos A+a·cos C, c=a·cos B+b·cos A

“正弦”的由來

公元五世紀到十二世紀,印度數學家對三角學作出了較大的貢獻。盡管當時三角學仍然還是天文學的一個計算工具,是一個附屬品,但是三角學的內容卻由于印度數學家的努力而大大的豐富了。

三角學中”正弦”和”餘弦”的概念就是由印度數學家首先引進的,他們還造出了比托勒密更精確的正弦表。

我們已知道,托勒密和希帕克造出的弦表是圓的全弦表,它是把圓弧同弧所夾的弦對應起來的。印度數學家不同,他們把半弦(AC)與全弦所對弧的一半(AD)相對應,即將AC與∠AOC對應(如圖五 ),這樣,他們造出的就不再是”全弦表”,而是”正弦表”了。

三角函式

印度人稱連結弧(AB)的兩端的弦(AB)為”吉瓦”,是弓弦的意思;稱AB的一半(AC) 為”阿爾哈吉瓦”。後來”吉瓦”這個詞譯成阿拉伯文時被誤解為”彎曲”、”凹處”,阿拉伯語是 ”dschaib”。十二世紀,阿拉伯文被轉譯成拉丁文,這個字被意譯成了”sinus”。

三角學輸入我國,開始于明崇禎4年(1631年),這一年,鄧玉函、湯若望和徐光啓合編《大測》,作為歷書的一部份呈獻給朝廷,這是我國第一部編譯的三角學。在《大測》中,首先將sinus譯為”正半弦”,簡稱”正弦”,這就成了正弦一詞的由來。

“弦表”問世

根據現在的認識,弦表的製作似應該是由一系列不同的角出發,去作一系列直角三角形,然後一一量出AC,A’C’,A’’C’’…之間的距離。然而,第一張弦表製作者希臘文學家希帕克 (Hipparchus,約前180~前125)不是這樣作,他採用的是在同一個固定的圓內,去計算給定度數的圓弧AB所對應的弦AB的長(如圖三)。這就是說,希帕克是靠計算,而不是靠工具量出弦長來製表的,這正是他的卓越之處。希帕克的原著早已失傳,現在我們所知關于希帕克在三角學上的成就,是從公元二世紀希臘著名天文學家托勒密的遺著《天文集》中得到的。雖然托勒密說他的這些成就出自希帕克,但事實上不少是他自己的創造。

據托勒密書中記載,為了度量圓弧與弦長,他們採用了巴比倫人的60進位法。把圓周360等分,把它的半徑60等分,在圓周和半徑的每一等分中再等分60份,每一小份又等分為60份,這樣就得出了托勒密所謂的第一小份和第二小份。很久以後,羅馬人把它們分別取名為”partes minutae primae”和”partes minutae secundae”;後來,這兩個名字演變為”minute”和”second”,成為現在角和時間的度 量上”分”和”秒”這兩個單位得起源。

建立了半徑與圓周的度量單位以後,希帕克和托勒密先著手計算一些特殊圓弧所對應的弦長。比如 60°弧(1/6圓周長)所對的弦長,正好是內接正六邊形的邊長,它與半徑相等,因此得出60°弧對應的弦值是60個半徑單位(半徑長的1/60為一個單位);用同樣的方法,可以算出120°弧、90°弧以及72°弧所對應的弦值(如圖四)。有了這些弧所對應的弦值,接著就利用現在所稱的”托勒密定理”,來推算兩條已知所對弦長的弧的”和”與”差”所對的弦長,以及由一條弧所對的弦長來計算這條弧的一半所對的弦長。正是基于這樣一種幾何上的推算。他們終于造出了世界上第一張弦表。

60進位

60進位以度為單位,將圓周分成360等份,每一份所對的圓心角叫做1度,1度等于60分,1分等于60秒。在時間上,1小時有60分,1分有60秒。這種60進位起源于巴比倫是1854年由欣克斯(Edward Hincks,1792-1866) 研究泥板上的楔形文字所發現的,這些泥板是公元前2300-1600年的遺物。Edward Hincks 是愛爾蘭人,以解讀埃及的象形文字及巴比倫的楔形文字著稱于世。

巴比倫人為什麽用60作為進位的基數呢?這是很有趣的問題,引起後人的種種猜測。以下我就列舉幾個有趣的例子。

(1)數學史家M.康托爾(Moritz Benedikt Cantor,1829-1920)曾認為他們最初以360天為一年。將圓周分為360度,太陽就每天行一度。又圓內恰好可以連續作6條等于半徑長的弦,每一條弦所對的長是60度,基數60或者由此而來。但根據考證,巴比倫人很早就知道太陽年是365日,太陰年(12個月)是354或355日,因此這種假說很難成立。康托爾後來也放棄了這種說法。

(2)60這個數位的選擇是因為它是許多簡單數位2,3,4,5,6,10,12,……的倍數,從而它的1/2,1/3,1/4, 1/5,……都是整數,用起來比較方便。這種想法早在希臘時代的賽翁就已指出,近年來又有 勒夫勒等人提倡。然而有人認為這是違反歷史事實的,因為記數製度不可能由某些學者為了”科學目的”自由創造出來,而是悠久歷史發展的結果。

(3)克維奇(G.Kewitsch)在1904年提出,當時兩河流域有兩個民族,1個用10進位,一個用6進位。兩種製度混合調和就形成60進位。10進位是容易理解的,因為人們用10個指頭來計算,而6進位是用一隻手來計算,5個指頭表示1至5,握拳表示6,6以上,就要進位了。其實有幾種意見認為是和指算有關。用手指計算的確在某些地區和年代流行過,甚至在近代也是如此。像我國也有”掐指一算”的說法。

總之,對于基數60的起源,至今還沒有一致公認的看法。中國在殷商時代(公元前16-11世紀),就開始用幹支紀日、紀年,從甲子起,60一個迴圈,周而復始,叫做六十花甲子。可以說和巴比倫異曲同工,不過沒有發展為進位值。

*希伯諸斯據說曾編著了第一個三角函式表,這個成就使他贏得了“三角學之父”的稱謂。

相關定義

依據單位圓定義,我們可以做三個有向線段(向量)來表示正弦、餘弦、正切的值。

如圖所示,圓O是一個單位圓,P是α的終邊與單位圓上的交點,M點是Px軸的投影S(1,0)是圓O與x軸正半軸的交點,過S點做圓O的切線l

三角函式

那麽向量MP對應的就是α的正弦值,向量OM對應的就是餘弦值。OP的延長線(或反向延長線)與l的交點為T,則向量ST對應的就是正切值。向量的起止點不能顛倒,因為其方向是有意義的。

借助線三角函式線,我們可以觀察到第二象限角α的正弦值為正,餘弦值為負,正切值為負。

1.銳角三角函式定義

銳角角A的正弦(sin),餘弦(cos)和正切(tan),餘切(cot)以及正割(sec),(餘割csc)都叫做角A的銳角三角函式。

正弦(sin)等于對邊比斜邊;

餘弦(cos)等于鄰邊比斜邊;

正切(tan)等于對邊比鄰邊;

餘切(cot)等于鄰邊比對邊;

正割(sec)等于斜邊比鄰邊;

餘割(csc)等于斜邊比對邊。

2.互餘角的三角函式關系

sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα,

tan(90°-α)=cotα, cot(90°-α)=tanα。

3.同角三角函式間的關系

商數關系:sinA/cosA=tanA

平方關系:sin^2(A)+cos^2(A)=1

積的關系:

sinA=tanA·cosA

cosA=cotA·sinA

cotA=cosA·cscA

tanA·cotA=1

倒數關系:

直角三角形ABC中

角A的正弦值就等于角A的對邊比斜邊,

餘弦等于角A的鄰邊比斜邊

正切等于對邊比鄰邊,

餘切等于鄰邊比對邊

4.三角函式值

(1)特殊角三角函式值

(2)0°~90°的任意角的三角函式值,查三角函式表

(3)銳角三角函式值的變化情況

(i)銳角三角函式值都是正值

(ii)當角度在0°~90°間變化時,

正弦值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小)

餘弦值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)

正切值隨著角度的增大(或減小)而增大(或減小)

餘切值隨著角度的增大(或減小)而減小(或增大)

(iii)當角度在0°≤∠A≤90°間變化時,

0≤sinα≤1, 1≥cosA≥0

當角度在0°<∠A<90°間變化時,

tanA>0, cotA>0

特殊的三角函式值

A30°45°60°90°120°135°150°180°270°
A弧度0π/6π/4π/3π/22π/33π/45π/6π3π/2
sinA01/2√2/2√3/21√3/2√2/21/20-1
cosA1√3/2√2/21/20-1/2-√2/2-√3/2-10
tanA0√3/31√3None-√3-1-√3/30None
cotANone√31√3/30-√3/3-1-√3None0
A15°75°
A弧度π/125π/12
sinA(√6-√2)/4(√6+√2)/4
cosA(√6+√2)/4(√6-√2)/4
tanA2-√32+√3
cotA2+√32-√3

“銳角三角函式”屬于三角學,是《數學課程標準》中“空間與圖形”領域的重要內容。從《數學課程標準》看,中學數學把三角學內容分成兩個部分,第一部分放在義務教育第三學段,第二部分放在高中階段。在義務教育第三學段,主要研究銳角三角函式和解直角三角形的內容,本套教科書安排了一章的內容,就是本章“銳角三角函式”。在高中階段的三角內容是三角學的主體部分,包括解斜三角形、三角函式、反三角函式和簡單的三角方程。無論是從內容上看,還是從思考問題的方法上看,前一部分都是後一部分的重要基礎,掌握銳角三角函式的概念和解直角三角形的方法,是學習三角函式和解斜三角形的重要準備。

特殊角度

在三角函式中,有一些特殊角,例如30°、45°、60°,這些角的三角函式值為簡單單項式,計算中可以直接求出具體的值。

這些函式的值參見右圖:

三角函式

同角三角函式關系式

平方關系
倒數關系
商的關系
(sinα)^2+(cosα)^2=1 (tanα)^2+1
(cotα)^2+1=(cscα)^2
tanα ·cotα=1
sinα ·cscα=1
cosα ·secα=1
sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα

積的關系sinα=tanα×cosα

cosα=cotα×sinα

tanα=sinα×secα

cotα=cosα×cscα

secα=tanα×cscα

cscα=secα×cotα·對稱性

180度-α的終邊和α的終邊關于y軸對稱。

-α的終邊和α的終邊關于x軸對稱。

180度+α的終邊和α的終邊關于原點對稱。

90度-α的終邊和α的終邊關于y=x對稱。

誘導公式

sin(2kπ+α)=sinα
cos(2kπ+α)=cosα
tan(2kπ+α)=tanα
cot(2kπ+α)=cotα
sec(2kπ+α)=secα
csc(2kπ+α)=cscα
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
sec(π+α)=-secα
csc(π+α)=-cscα
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
sec(-α)=secα
csc(-α)=-cscα
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα
sec(π-α)=-secα
csc(π-α)=cscα
sin(α-π)=-sinα
cos(α-π)=-cosα
tan(α-π)=tanα
cot(α-π)=cotα
sec(α-π)=-secα
csc(α-π)=-cscα
sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα
sec(2π-α)=secα
csc(2π-α)=-cscα
sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanα
sec(π/2+α)=-cscα
csc(π/2+α)=secα
sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinα
tan(π/2-α)=cotα
cot(π/2-α)=tanα
sec(π/2-α)=cscα
csc(π/2-α)=secα
sin(3π/2+α)=-cosα
cos(3π/2+α)=sinα
tan(3π/2+α)=-cotα
cot(3π/2+α)=-tanα
sec(3π/2+α)=cscα
csc(3π/2+α)=-secα
sin(3π/2-α)=-cosα
cos(3π/2-α)=-sinα
tan(3π/2-α)=cotα
cot(3π/2-α)=tanα
sec(3π/2-α)=-cscα
csc(3π/2-α)=-secα

誘導公式的表格以及推導方法(定名法則和定號法則)


sinαcosαtanαcotαsecαcscα
2kπ+αsinαcosαtanαcotαsecαcscα
(1/2)kπ-αcosαsinαcotαtanαcscαsecα
(1/2)kπ+αcosα-sinα-cotα-tanα-cscαsecα
kπ-αsinα-cosα-tanα-cotα-secαcscα
kπ+α-sinα-cosαtanαcotα-secα-cscα
(3/2)kπ-α-cosα-sinαcotαtanα-cscα-secα
(3/2)kπ+α-cosαsinα-cotα-tanαcscα-secα
2kπ-α-sinαcosα-tanα-cotαsecα-cscα
-sinαcosα-tanα-cotαsecα-cscα

定名法則  

90°的奇數倍+α的三角函式,其絕對值與α三角函式的絕對值互為餘函式。90°的偶數倍+α的三角函式與α的三角函式絕對值相同。也就是“奇餘偶同,奇變偶不變”。

定號法則

將α看做銳角(註意是“看做”),按所得的角的象限,取三角函式的符號。也就是“象限定號,符號看象限”。(或為“奇變偶不變符號看象限”)。

在Kπ/2中如果K為偶數時函式名不變,若為奇數時函式名變為相反的函式名。正負號看原函式中α所在象限的正負號。關于正負號有可口訣一全正二正弦三正切四餘弦,即第一象限全部為正,第二象限角正弦為正,第三為正切、餘切為正,第四象限餘弦為正。)還可簡記為:sin上cos右tan對角,即sin的正值都在x軸上方,cos的正值都在y軸右方,tan的正值斜著。

比如:90°+α。定名:90°是90°的奇數倍,所以應取餘函式;定號:將α看做銳角,那麽90°+α是第二象限角,第二象限角的正弦為正,餘弦為負。所以sin(90°+α)=cosα , cos(90°+α)=-sinα 這個非常神奇,屢試不爽~

還有一個口訣“縱變橫不變符號看象限”,例如:sin(90°+α),90°的終邊在縱軸上,所以函式名變為相反的函式名,即cos,將α看做銳角,那麽90°+α是第二象限角,第二象限角的正弦為正,所以sin(90°+α)=cosα。

對稱軸與對稱中心

y=sinx 對稱軸:x=kπ+π/2(k∈z) 對稱中心:(kπ,0)(k∈z)

y=cosx 對稱軸:x=kπ(k∈z) 對稱中心:(kπ+π/2,0)(k∈z)

y=tanx 對稱軸:無 對稱中心:(kπ,0)(k∈z)

兩角和與差的三角函式

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)

和差化積公式

sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]

積化和差公式

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]

倍角公式

sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)

cos(2α)=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2 

tan2α=2tanα/(1-tan^2(α));α)

cot(2α)=(cot&sup2;α-1)/(2cotα)

sec(2α)=sec&sup2;α/(1-tan&sup2;α)

csc(2α)=1/2*secα·cscα

三倍角公式

sin(3α) = 3sinα-4sin&sup3;α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)

cos(3α) = 4cos&sup3;α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)

tan(3α) = (3tanα-tan&sup3;α)/(1-3tan&sup2;α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)

cot(3α)=(cot&sup3;α-3cotα)/(3cotα-1)

n倍角公式

根據歐拉公式(cosθ+isinθ)^n=cosnθ+isinnθ

將左邊用二項式定理展開分別整理實部和虛部可以得到下面兩組公式

sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…

cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α

半角公式

sin(α/2)=±√[(1-cosα)/2]

cos(α/2)=±√[(1+cosα)/2]

tan(α/2)=±√[(1-cosα)/(1+cosα)]=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα

cot(α/2)=±√[(1+cosα)/(1-cosα)]=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)

sec(α/2)=±√[(2secα/(secα+1)]

csc(α/2)=±√[(2secα/(secα-1)]

輔助角公式

Asinα+Bcosα=√(A&sup2;+B&sup2;)sin[α+arctan(B/A)]

Asinα+Bcosα=√(A&sup2;+B&sup2;)cos[α-arctan(A/B)]

萬能公式

sin(a)=[2tan(a/2)]/[1+tan&sup2;(a/2)]

cos(a)=[1-tan&sup2;(a/2)]/[1+tan&sup2;(a/2)]

tan(a)=[2tan(a/2)]/[1-tan&sup2;(a/2)]

降冪公式

sin&sup2;α=[1-cos(2α)]/2=versin(2α)/2

cos&sup2;α=[1+cos(2α)]/2=vercos(2α)/2

tan&sup2;α=[1-cos(2α)]/[1+cos(2α)]

三角和的三角函式

sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ

cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ

tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα)

特殊角的三角函式值


正弦餘弦正切餘切
0010不存在
π/61/2√3/2√3/3√3
π/4√2/2√2/211
π/3√3/21/2√3√3/3
π/210不存在0
π0-10不存在

冪級數

c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)

c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)

它們的各項都是正整數冪的冪函式, 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常數, 這種級數稱為冪級數。

泰勒展開式

泰勒展開式又叫冪級數展開法

f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...+f(n)(a)/n!*(x-a)n+……

實用冪級數:

e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+…… (-∞<x<∞)

ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1)

sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。 (-∞<x<∞)

cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞<x<∞)

arcsin x = x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) + 1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……+(2k+1)!!*x^(2k-1)/(2k!!*(2k+1))+……(|x|<1) !!表示雙階乘

arccos x = π -(x + x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) + 1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……)(|x|<1)

arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1)

sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+……+(x^(2k-1))/(2k-1)!+…… (-∞<x<∞)

cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4!+……+(x^(2k))/(2k)!+……(-∞<x<∞)

arcsinh x =x - x^3/(2*3) + (1*3)x^5/(2*4*5) -1*3*5(x^7)/(2*4*6*7)……(|x|<1)

arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ……(|x|<1)

在解初等三角函式時,隻需記住公式便可輕松作答,在競賽中,往往會用到與圖像結合的方法求三角函式值、三角函式不等式、面積等等。

傅立葉級數

傅裏葉級數又稱三角級數

三角函式

f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx)

a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dx

an=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dx

bn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx

三角函式的數值符號

正弦:第一,二象限為正,第三,四象限為負

餘弦:第一,四象限為正,第二,三象限為負

正切:第一,三象限為正,第二,四象限為負

相關概念

三角形與三角函式

1、正弦定理:在三角形中,各邊和它所對的角的正弦的比相等,即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R .(其中R為外接圓的半徑)

2、第一餘弦定理:三角形中任意一邊等于其他兩邊以及對應角餘弦的交叉乘積的和,即a=c cosB + b cosC

3、第二餘弦定理:三角形中任何一邊的平方等于其它兩邊的平方之和減去這兩邊與它們夾角的餘弦的積的2倍,即a^2=b^2+c^2-2bc·cosA

4、正切定理(napier比擬):三角形中任意兩邊差和的比值等于對應角半角差和的正切比值,即(a-b)/(a+b)=tan[(A-B)/2]/tan[(A+B)/2]=tan[(A-B)/2]/cot(C/2)

5、三角形中的恆等式:

對于任意非直角三角形中,如三角形ABC,總有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

證明:

已知(A+B)=(π-C)

所以tan(A+B)=tan(π-C)

則(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)

整理可得

tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC

類似地,我們同樣也可以求證:當α+β+γ=nπ(n∈Z)時,總有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ

三角函式圖像:

定義域和值域

sin(x),cos(x)的定義域為R,值域為〔-1,1〕

tan(x)的定義域為x不等于π/2+kπ,值域為R

cot(x)的定義域為x不等于kπ,值域為R

y=a·sin(x)+b·cos(x)+c 的值域為 [ c-√(a&sup2;+b&sup2;) , c+√(a&sup2;+b&sup2;)]

三角函式的畫法

以y=sinx的圖像為例,得到y=Asin(ωx+φ)的圖像:

方法一:

y=sinx→【左移(φ>0)/右移(φ<0) ∣∣∣φ∣個單位】 →y=sin(x+φ)→【縱坐標不變,橫坐標伸縮到原來的(1/ω)】→y=sin(ωx+φ) →【縱坐標變為原來的A倍(伸長 / 縮短[0<A<1])】→ y=Asin(ωx+φ)方法二:  y=sinx→【縱坐標不變,橫坐標伸縮到原來的(1/ω)】→y=sinωx→【左移(φ>0)/右移(φ<0)∣φ∣/ω 個單位】→y=sin(ωx+φ) →【縱坐標變為原來的A倍(伸長 / 縮短[0<A<1])】→ y=Asin(ωx+φ)初等三角函式導數y=sinx---y'=cosx   y=cosx---y'=-sinx   y=tanx---y'=1/cos^2x =sec^2x   y=cotx---y'= -1/sin^2x= - csc^2x   y=secx---y'=secxtanx   y=cscx---y'=-cscxcotx  y=arcsinx---y'=1/√(1-x&sup2;)  y=arccosx---y'= -1/√(1-x&sup2;)  y=arctanx---y'=1/(1+x&sup2;)   y=arccotx---y'= -1/(1+x&sup2;)  備註:此處&sup2 是對前式進行平方:x&sup2 也即 x^2倍半角規律  如果角a的餘弦值為1/2,那麽a/2的餘弦值為√3/2反三角函式  三角函式的[a href="#"]反函式,是多值函式。它們是反正弦Arcsin x,反餘弦Arccos x,反正切Arctan x,反餘切Arccot x等,各自表示其正弦、餘弦、正切、餘切、正割、餘割為x的角。為限製反三角函式為單值函式,將反正弦函式的值y限在y=-π/2≤y≤π/2,將y為反正弦函式的主值,記為y=arcsin x;相應地,反餘弦函式y=arccos x的主值限在0≤y≤π;反正切函式y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2;反餘切函式y=arccot x的主值限在0<y<π。  反三角函式實際上並不能叫做函式,因為它並不滿足一個自[a href="/doc/2977483.html"]變數對應一個函式值的要求,其圖像與其原函式關于函式y=x對稱。其概念首先由歐拉提出,並且首先使用了arc+函式名的形式表示反三角函式,而不是f-1(x).

三角函式

y=arcsin(x),定義域[-1,1],值域[-π/2,π/2],圖象用紅色線條;

y=arccos(x),定義域[-1,1],值域[0,π],圖象用藍色線條;

y=arctan(x),定義域(-∞,+∞),值域(-π/2,π/2),圖象用綠色線條;

sinarcsin(x)=x,定義域[-1,1],值域 [-π/2,π/2]

證明方法如下:設arcsin(x)=y,則sin(y)=x ,將這兩個式子代入上式即可得

其他幾個用類似方法可得。

高等套用

整體情況

高等代數中三角函式的指數表示(由泰勒級數易得):

sinz=[e^(iz)-e^(-iz)]/(2i)

cosz=[e^(iz)+e^(-iz)]/2

tanx=[e^(iz)-e^(-iz)]/[ie^(iz)+ie^(-iz)]

泰勒展開有無窮級數.,e^z=exp(z)=1+z/1!+z^2/2!+z^3/3!+z^4/4!+…+z^n/n!+… ≦

此時三角函式定義域已推廣至整個復數集。

·三角函式作為微分方程的解:

對于微分方程組 y=-y'';y=y'''',有通解Q,可證明

Q=Asinx+Bcosx,因此也可以從此出發定義三角函式。

補充:由相應的指數表示我們可以定義一種類似的函式--雙曲函式,其擁有很多與三角函式的類似的性質,二者相映成趣。

復數域內性質

(1)對于z為實數y來說,復數域內正餘弦函式的性質與通常所說的正餘弦函式性質是一樣的。

(2)復數域內正餘弦函式在z平面是解析的。

(3)在復數域內不能再斷言|sinz|≦1,|cosz|≦1。

(4)sinz、cosz分別為奇函式,偶函式,且以2π為周期。

(5) 棣莫佛(De Moivre)定理 設兩個復數(用三角形式表示)Z1=r1(cosθ1+isinθ1) ,Z2=r2(cosθ2+isinθ2),則: Z1Z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].

性質定理

三角函式,正如其名稱那樣,在三角學中是十分重要的,主要是因為下列兩個結果。

正弦定理

對于邊長為 a, bc而相應角為 A, BC的三角形,有:

sinA / a = sinB / b = sinC/c

也可表示為:

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

變形:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

其中R是三角形的外接圓半徑。

它可以通過把三角形分為兩個直角三角形並使用上述正弦的定義來證明。在這個定理中出現的公共數 (sinA)/a是通過 A, BC三點的圓的直徑的倒數。正弦定理用于在一個三角形中(1)已知兩個角和一個邊求未知邊和角(2)已知兩邊及其一邊的對角求其他角和邊的問題。這是三角測量中常見情況。

餘弦定理

對于邊長為 a, bc而相應角為 A, BC的三角形,有: c^2=a^2+b^2-2ab·cosC.

也可表示為:

cosC=(a^2+b^2-c^2)/ 2ab.

這個定理也可以通過把三角形分為兩個直角三角形來證明。餘弦定理用于在一個三角形的兩個邊和一個角已知時確定未知的資料。

如果這個角不是兩條邊的夾角,那麽三角形可能不是唯一的(邊-邊-角)。要小心餘弦定理的這種歧義情況。

正切定理

對于邊長為 a, bc而相應角為 A, BC的三角形,有:

(a+b)/(a-b) = tan[(A+B)/2]/tan[(A-B)/2]

具體套用

一元三次方程的解是三個不相等的實根時,可用三角函式知識求出方程的解。

一元三次方程aX^3+bX^2+cX+d=0,(a,b,c,d∈R,且a≠0)

重根判別式:A=b^2-3ac;B=bc-9ad;C=c^2-3bd。

總判別式:Δ=B^2-4AC。

當Δ=B^2-4AC<0時,盛金公式④:

X⑴=(-b-2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a)

X(2,3)=(-b+A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a),

其中θ=arccosT,T=(2Ab-3aB)/(2A^(3/2)),(A>0,-1<T<1)。

在利用卡爾丹公式解三次方程時,對于x^3+px+q=0,有

x1=√(-p/3)cos(Φ/3)

x2=√(-p/3)cos(Φ/3+2π/3)

x3=√(-p/3)cos(Φ/3+4π/3)

對于一般的方程ax^3+bx^2+cx+d=0,隻需令x=y-b/(3a)即可化為上式求解。

例:一建築物的樓頂要建一個儲水池,按施工的設計要求,這個儲水池的長、寬、高之和為70.5dm(為了減少佔用樓頂面積,取長>高>寬),滿儲水量為10082.44(dm)^3,立體對角線為1903.17dm,問:如何施工才能達到設計要求?

解:設取長、寬、高分別為X⑴、X⑵、X⑶,依題意:

X⑴+X⑵+X⑶=70.5

X⑴·X⑵·X⑶=10082.44

X⑴^2+X⑵^2+X⑶^2=1903.17。

解這個方程組。

根據韋達定理,得一元三次方程:

X^3-70.5X^2+1533.54X-10082.44=0

a=1,b=-70.5,c=1533.54,d=-10082.44。

A=369.63;B=-17372.61;C=219308.8716,

Δ=-22444974.63<0。

根據盛金判別法,此方程有三個不相等的實根。

套用盛金公式④求解。

θ=90°。

把有關值代入盛金公式④,得:

X⑴=12.4(dm);X⑵=34.6(dm);X⑶=23.5(dm)。

經檢驗,結果正確。

因為取長>高>寬,

所以,應取長為34.6dm;高為23.5dm;寬為12.4dm來進行施工。

常見考法

本節知識在中考是必考內容,多以選擇題和填空題形式考查基礎知識,多以解答題的形式考查三角函式的圖像和性質。在聯考中,多以解答題的形式和三角函式的概念、簡單的三角恆等變換、解三角形聯合考查三角函式的最值、單調區間、對稱性等,屬于難題。

復數三角函式

sin(a+bi)=sinacosbi+sinbicosa

=sinachb+ishbcosa

cos(a-bi)=coscosbi+sinbisina

=cosachb+ishbsina

tan(a+bi)=sin(a+bi)/cos(a+bi)

cot(a+bi)=cos(a+bi)/sin(a+bi)

sec(a+bi)=1/cos(a+bi)

csc(a+bi)=1/sin(a+bi)

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